Сложная функция. Непрерывность сложной функции в точке

Пусть функция f определена на некотором множестве X Ì R, а Y есть мно- жество ее значений. Пусть, далее, на множестве Y определена функция g. На мно- жестве X зададим функцию F: Х Функцию F называют суперпозицией функций f и g, при этом записывают: .

Рис. 9.

Пример 1. Пусть при х [-1;1] . Множество Y значений этой функции на сегменте [–1; 1] представляет собой сегмент [0; 1]. На [0; 1] зададим функцию . Тогда на [–1; 1] можно рассматривать суперпозицию : . Функция определена при всех z Î R; поэтому на [–1; 1] можно рассматривать функцию G, являющуюся суперпозицией функций h и F. . Ее можно также считать суперпозицией трех функций f, g и h.

Суперпозицию функций называют также сложной функцией.

Теорема 1. (О непрерывности сложной функции) Пусть функция f непрерыв- на в точке , а функция g непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

► Покажем, прежде всего, что суперпозиция F определена в некоторой ок- рестности точки х ₀. Функция g непрерывна в точке у ₀, значит (п.5.1., определение 1) она определена в некоторой окрестности этой точки, т.е. на некотором интервале (c;d), c < y ₀ <d. Пусть ε > 0 выбрано так, чтобы интервал (у ₀ – ε; у ₀ +ε) содержался в (c;d). Так как , по указанному выше e > 0 найдется d > 0 такое, что

(у ₀ – ε; у ₀ +ε) Значит, при всех х из окрестности (d) значение f (x) принадлежит области опреде- ления (c; d) функции g и поэтому суперпозиция определена в (d).

Докажем теперь,что Пусть последовательность удов- летворяет условиям: 1) все ее члены содержатся в (d) и 2) .Обозначим: . Так как функция f непрерывна в точке х ₀, то у _k→ f (x₀) = y ₀; поскольку функция g непрерывна в точке у ₀, то g (y_k)→ g (y ₀). Но , a g (y ₀) = F (x ₀), значит, F (x _k ) → F (x ₀). Поскольку здесь – произвольная последова- тельность, удовлетворяющая условиям 1) и 2), то из определения предела функции на языке последовательностей следует: Таким образом, F непре- рывна в точке .

Пример 2. Пусть , , . При всяком точка лежит на (0; 1). Положим и . Функции f и g непрерывны в точках и соответственно (см. примеры 2 и 3); следовательно, функция непрерывна в точке х ₀, где х ₀ – произвольная точка интер- вала (–1; 1). Функция sin x непрерывна во всякой точке на числовой оси, поэтому функция непрерывна в каждой точке интервала (–1; 1).