Ускорение точки М тела

В последнем выражении ¾ вектор углового ускорения тела, а ¾ скорость точки М (рис.2.4); поэтому

(2.16)

Слагаемые в правой части выражения (2.16) представляют собой вращательную и осестремительную составляющие ускорения точки.

Направление , исходя из векторного произведения , будет определено как направление вектора, касательного к окружности радиусом h = R вточке М. На рис. 2.4 видно, что это направление также соответствует направлению углового ускорения точки. Модуль вращательного ускорения точки в данном случае равен

(2.17)

Вектор всегда направлен по нормали к траектории токи М в сторону ее вогнутости (к оси вращения тела). Модуль осестремительного ускорения точки

(2.18)

Таким образом, видно, что модули скоростей и ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, прямо пропорциональны кратчайшему расстоянию от них до оси вращения (h=R), причем, чем дальше находится точка от оси вращения, тем больше ее скорость и ускорения.

Следует заметить, что только для частного случая движения точки при траекторном способе задания ее движения, когда ее траекторией является окружность

· нормальное ускорение º совпадает с осестремительным º по величине и направлению, а именно

; (2.19)

касательное (тангенциальное) ускорение º совпадает с вращательным

º по величине и направлению, а именно

. (2.20)

Полное ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, Численное значение (модуль) его определяется по формуле

(2.21)

. Пример 2.3.1 Груз 3 подвешен на нерастяжимом тросе, намотанном на барабан лебедки (рис.2.6). Барабан радиусом r₁ = 0,2 м жестко скреплен с шестерней 1 радиусом R₁ = 0,3 м и имеет общую с ней неподвижную ось вращения . Шестерня 1 находится в зацеплении с шестерней 2 ради

Рис.2.6

усом r₂ = 0,15 м, которая приводится во вращение (вокруг неподвижной оси ) жестко связанной с ней рукояткой длиной = 0,25 м.

Определить: Угловые скорости и угловые ускорения шестеренок 1 и 2, т.е. , , , , а также скорость и ускорение конца М рукоятки О₂М в момент, когда груз 3опустится на высоту h = 0,9 м, если он движется по закону x = 1+0,4t² (x ¾ в метрах, t ¾ в секундах).

Р е ш е н и е. В рассматриваемом механизме шестерни 1 и 2 совершают вращательное движение, а груз 3 совершает поступательное движение.

В начале движения при t = 0 координата груза была равна x_o = 1 м. Когда он опустился на высоту h = 0,9 м, она стала x_А = x ₁ = 1+ 0,9 = 1,9 м. Зная x_А = x ₁, найдем время, соответствующее этому перемещению груза:

x_А = 1+0,4t² = 1,9 м, или По закону движения груза найдем его скорость: ,

причем вектор направлен вниз.

Так как трос нерастяжим, все его точки имеют скорости, равные скорости груза 3. Следовательно, и точки обода барабана имеют ту же скорость: . При опускании груза барабан и шестерня 1 вращаются вокруг оси с угловой скоростью .

Скорость точек обода барабана равна , откуда

, ­­ О₁ z _1; >0,т.е. ­­ .

Если два тела в процессе движения касаются друг друга и в точке контакта отсутствует проскальзывание, то точки контакта имеют одинаковые скорости. Поэтому скорости точки К шестерни 1 и точки К шестерни 2 равны. При вращении шестерни 1 с угловой скоростью шестерня 2 будет вращаться в противоположную сторону вокруг оси с угловой скоростью . При этом скорость точки К можно представить в виде

,

откуда ¯­ .

Угловая скорость рукоятки равна угловой скорости шестерни 2, т.е. ,

Поэтому скорость конца рукоятки составляет

В момент времени она равна

Чтобы найти ускорение точки М, надо найти предварительно угловое

ускорение шестерни 2 и рукоятки:

= т.е. >0 и ,

а затем воспользоваться формулой (2.21)

= 2 м /с².

В момент времени это ускорение равно

Ответ:

= 6 рад/с; = 12 рад/с;

= 4 рад/с²; = 8рад/с²;

v_М ; a_М »36 м /с².

Г л а в а 3