Углы в треугольнике и четырехугольнике

Первый и, пожалуй, самый важный факт:

1. В треугольнике сумма углов равна 180°;
2. А в четырехугольнике — 360°.

Эти равенства хорошо работают в тех случаях, когда известны все углы, кроме одного. Как правило, именно этот недостающий угол и требуется найти.

Несмотря на внешнюю простоту, таких задач много. Их постоянно дают на пробниках, и в настоящем ЕГЭ они тоже будут.

Задача [Пробный ЕГЭ 2012]

В треугольнике ABC угол C равен 45°, AD — биссектриса, угол CAD равен 30°. Найдите угол B.

Решение

Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку AD — биссектриса, углы BAD и CAD равны: BAD = CAD = 30°. С другой стороны, угол BAC = BAD + CAD = 30° + 30° = 60°. Но сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому имеем:

A + B + C = 180;
60 + B + 45 = 180;
B = 75.

Это и есть искомый угол.

Ответ 75

Задача [Материалы подготовки к ЕГЭ]

Высоты BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите угол DOE, если угол A равен 72°.

Решение

Рассмотрим четырехугольник ADOE. По условию, угол A равен 72°. Кроме того, поскольку BD и CE — высоты, углы ADO и AEO — прямые: ADO = AEO = 90°. Сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому:

A + ADO + DOE + AEO = 360;
72 + 90 + DOE + 90 = 360;
DOE = 108.

Ответ 108