Параллельные прямые и смежные углы

Эта тема тоже постоянно «всплывает» в задачах B6. Смежные углы обычно возникают в задачах с треугольниками, а параллельные прямые — в параллелограммах (кэп?). Итак, что надо знать:

1. Сумма смежных углов равна 180°;
2. Соответственные и накрест лежащие углы при параллельных прямых равны;
3. Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°.

Задача [Материалы подготовки к ЕГЭ]

Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° и 35°. Найдите больший угол параллелограмма.

Решение

Обозначим параллелограмм за ABCD, причем AC — та самая диагональ. Предположим, угол CAD равен 35°, а угол DCA равен 25°. Имеем:

Заметим, что углы BAC и DCA равны: BAC = DCA = 25°. Ведь это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Кроме того, угол BAD = BAC + CAD = 25° + 35° = 60°. Обозначим неизвестный угол D = x. Поскольку ABCD — параллелограмм, имеем:

B = D = x;
BCD = BAD = 60.

Но сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому:

BAD + B + BCD + D = 360;
60 + x + 60 + x = 360;
2x + 120 = 360;
2x = 240;
x = 120.

Получается, что углы B и D равны 120°, а углы BAD и BCD — 60°. Требуется найти больший угол — это угол B. Поэтому ответ — 120 градусов.

Ответ