Объем многогранника

Часто в задачах B11 дается многогранник и его объем. Затем многогранник растягивается или сжимается по разным направлениям. В результате получается новый многогранник, объем которого и требуется найти.

Как решать такие задачи? Прежде всего, запомните вот что:

Многогранник рассматривается в трехмерном пространстве. И все изменения происходят по одной из трех осей.

Теперь, когда в задаче написано «высота цилиндра увеличена в 2 раза, а основание уменьшено в 3 раза», это следует понимать так:

1. Сжатие в 2 раза по оси OZ;
2. Растяжение в 3 раза по осям OX и OY.

Обратите внимание: растяжение произошло сразу по двум осям. Ведь окружность — фигура двумерная, в отличие, например, от отрезка (который одномерен). Поэтому изменение радиуса влечет растяжение сразу «в обе стороны». Мы еще вернемся к этому факту, когда будем рассматривать реальные задачи.

А сейчас — основная теорема:

Теорема

Пусть дан объем исходного многогранника V_старый. Пусть также известны числа a, b и c — коэффициенты растяжения для осей OX, OY и OZ соответственно. Тогда объем нового многогранника V_новый рассчитывается по формуле:

V_новый = V_старый · a · b · c

Если по какой-то оси производится сжатие многогранника, а не растяжение, то вместо умножения просто пишется деление.

В частности, если все стороны многогранника изменились в одинаковое число раз (пусть это будет n), новый объем считается так:

V_новый = V_старый · n³

Вот так все просто. Единственная загвоздка — определить, по какой оси и во сколько раз происходит растяжение или сжатие. Но это вопрос тренировки.

Задача [ЕГЭ 2011]

Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ имеет объем 35 см³. Ребро AB увеличили в 2 раза, ребро AC — в 5 раз, а ребро AA₁ уменьшили в 7 раз. Найдите объем нового параллелепипеда.

Решение

Только не надо чертить параллелепипед! Эта задача словно создана для решения описанным выше методом. Имеем:

1. V_старый = 35;

2. Ось OX: растяжение в 2 раза ⇒ a = 2;

3. Ось OY: растяжение в 5 раз ⇒ b = 5;

4. Ось OZ: сжатие в 7 раз ⇒ c = 1/7.

Рассчитываем объем нового параллелепипеда:

V_новый = V_старый · a · b · c = 35 · 2 · 5: 7 = 50

Получили, что V_новый = 50 — это и есть ответ. Все!

Ответ

Задача [Пробный ЕГЭ 2012]

Высоту кругового цилиндра увеличили в 4 раза, а радиус основания уменьшили в 3 раза. Найдите объем нового цилиндра, если объем исходного равен 45 м³.

Решение

По условию, нам известно:

1. V_старый = 45;

2. По оси OZ идет растяжение в 4 раза, поэтому c = 4;

3. По осям OX и OY идет сжатие в 3 раза, поэтому a = b = 1/3.

Теперь можно найти объем:

V_новый = V_старый · a · b · c = 45 · 4: 3: 3 = 20

Обратите внимание, что сжатие идет сразу по двум осям: OX и OY. Ведь мы работаем с круговым цилиндром, в основании которого лежит окружность. Но окружность — объект двумерный, и чтобы сохранить пропорции, надо менять радиус по обоим измерениям. Иначе получится не окружность, а эллипс.

Ответ

Задача [Демонстрационный ЕГЭ 2011]

Бетонный шар весит 0,75 т. Сколько будет весить шар, изготовленный из того же материала, если его радиус в 2 раза больше?

Решение

Поскольку шары изготовлены из одного и того же материала, масса меняется по тому же закону, что и объем. Следовательно, работаем по формулам, приведенным выше.

1. V_старый = 0,75;

2. Растяжение в 2 раза по всем осям ⇒ a = b = c = 2.

Почему растяжение по всем осям одинаково? Да очень просто: если растяжения будут разные, получится «приплюснутый» шар — в математике он называется эллипсоид. Чтобы такого не случилось, радиус меняется по всем осям.

Осталось найти ответ (по упрощенной формуле):

V_новый = V_старый · a³ = 0,75 · 2³ = 6

Ответ

Задача [Материалы индивидуальных занятий]

Высоту прямого кругового конуса увеличили в 5 раз, а радиус основания уменьшили в 3 раза. В результате получился новый конус объемом 30. Найдите объем исходного конуса.

Решение

Выписываем коэффициенты и работаем по той же самой формуле:

1. Мы не знаем V_старый, зато знаем V_новый = 30;

2. Растяжение по оси OZ в 5 раз ⇒ c = 5;

3. В основании лежит окружность, поэтому сжатие в 3 раза идет сразу по двум осям: OX и OY ⇒ a = b = 1/3;

Записываем формулу объема:

V_новый = V_старый · a · b · c
30 = V_старый · 5: 3: 3
V_старый = 30 · 3 · 3: 5 = 54

Ответ

Как видите, ничего сложного в задачах на объем нет. Просто выписываем числа и подставляем в формулу. А теперь разберемся с задачами на площади.