Вершины четырехугольной пирамиды

Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где S — вершина, основание ABCD — квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:

Вводим систему координат с началом в точке A:

1. Ось OX направлена параллельно ребру AB;
2. Ось OY — параллельно AD. Поскольку ABCD — квадрат, AB ⊥ AD;
3. Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD.

Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH — высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A, B, C и D лежат в плоскости OXY, их координата z = 0. Имеем:

1. A = (0; 0; 0) — совпадает с началом координат;
2. B = (1; 0; 0) — шаг на 1 по оси OX от начала координат;
3. C = (1; 1; 0) — шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY;
4. D = (0; 1; 0) — шаг только по оси OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) — центр квадрата, середина отрезка AC.

Осталось найти координаты точки S. Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ. Осталось найти координату z для точки S.

Рассмотрим треугольники ASH и ABH:

1. AS = AB = 1 по условию;
2. Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH — высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;
3. Сторона AH — общая.

Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD. Но BD — диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:

Итого координаты точки S:

В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды: