Важное замечание по площадям

Но формула — это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю. Получим:

Числа n и k — это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:

Площадь всегда выражается целым числом или дробью. Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»: 10,5; 17,5 и т.д.

Таким образом, площадь в задаче B3 всегда выражается целым числом или дробью вида ***,5. Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!

Специфика работы с логарифмами в задаче B14

22 февраля 2012

Вообще говоря, для решения задачи B14 с логарифмом надо знать две формулы:

Первая формула — классическая производная натурального логарифма, вторая — производная сложной функции. Обратите внимание: в числителе стоит число k, это не опечатка.

Добавьте к этим формулам стандартные правила вычисления производных — и задача B14 решена:

(f ± g) ’ = f ’ ± g ’;
(c · f) ’ = c · f ’, c ∈ R.

В настоящих задачах логарифмы никогда не встречаются сами по себе. Поэтому обязательно приводите всю производную к общему знаменателю. Почему это важно, узнаете из примеров.

Задача

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0,5; 4]:

y = 2x² − 4 ln x + 5

Решение

Находим производную:

Выясняем, когда производная равна к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю. Имеем:

4(x² − 1) = 0;
x² = 1;
x = ±1.

Корень x = −1 не принадлежит отрезку [0,5; 4], поэтому нас интересует только x = 1. Кроме того, рассмотрим концы отрезка — числа 0,5 и 4. Итого три числа: 0,5; 1; 4. Поскольку требуется найти наименьшее значение функции, подставляем эти числа в исходную функцию:

y (0,5) = 2 · 0,5² − 4 ln 0,5 + 5 = 0,5 − 4 ln 0,5 + 5 = 5,5 − 4 ln 0,5;
y (1) = 2 · 1² − 4 ln 1 + 5 = 2 − 0 + 5 = 7;
y (4) = 2 · 4² − 4 ln 4 + 5 = 32 − 4 ln 4 + 5 = 37 − 4 ln 4.

В общем, выбирать особо не из чего. Ответ: 7. Потому что числа 5,5 − 4ln 0,5 и 37 − 4ln 4 иррациональны, их нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

Ответ

Задача

Найдите точку минимума функции:

y = 2x − 5 ln (x − 7) + 3

Решение

Снова считаем производную:

Под логарифмом стоит линейная функция y = x − 7. Коэффициент при переменной x равен k = 1, поэтому в числителе никаких дополнительных множителей не возникнет — только множитель 5, который стоит перед логарифмом.

Поскольку требуется найти точку минимума, считаем нули числителя и знаменателя:

2x − 19 ⇒ x = 19: 2 = 9,5;
x − 7 = 0 ⇒ x = 7.

Отмечаем эти точки на прямой, расставляем знаки производной между точками:

Итак, в точке x = 9,5 производная меняет знак с минуса на плюс, если считать слева — направо, в направлении стрелки. Это и есть точка минимума.

Ответ

9,5

Задача

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−1,5; 1]:

y = 3 ln (x + 2) − 3x + 10

Решение

Считаем производную:

Находим нули числителя:

−3x − 3 = 0;
x = −1.

Нули знаменателя нас не интересуют, поскольку требуется найти значение функции. А когда знаменатель равен нулю, значение функции не определено.

Поскольку корень x = −1 ∈ [−1,5; 1], получаем три точки: −1,5; −1; 1. Подставляем их в исходную функцию:

y (−1,5) = 3 ln (−1,5 + 2) − 3 · (−1,5) + 10 = 3 ln 0,5 + 14,5;
y (−1) = 3 ln (−1 + 2) − 3 · (−1) + 10 = 3 ln 1 + 13 = 0 + 13 = 13;
y (1) = 3 ln (1 + 2) − 3 · 1 + 10 = 3 ln 3 + 7.

Понятно, что числа 3 ln 0,5 + 14,5 и 3 ln 3 + 7 нельзя записать в ответ. Остается только число 13 — это и будет наибольшее значение.

Ответ