Численные методы интегрирования

Цель работы: научиться вычислять определенный интеграл на основе заданных значений подынтегральной функции различными методами.

Задание:

1. Вычислить на интеграл заданной функции на отрезке сточностью методами трапеций и Симпсона. Сравнить точность полученных результатов.2. Определить, какое число отрезков разбиения обеспечило бы достижение точности при вычислении заданного интеграла по формуле трапеций.

Вариант	Подынтегральная функция	Пределы интегрирования a b
			6,5
			3,5
		3	3,5
		0,5
			2,5
			2
		0,2	0,3
		0,5
		0,1	0,5
		0,1	0,3

Порядок выполнения работы:

Пример 1. Вычислить интеграл по формуле трапеций, разделив отрезок на 10 равных частей, и оценить погрешность вычислений.Оценим ошибку метода. Для этого найдем вторую производную подынтегральнойфункции: На отрезке всюдуположительна, причем ее значение ограничено сверху: Таким образом, используя формулу (8.7.б) имеем: полагая , получим Итак, приняв на заданном участке интегрирования мы сможем получить интеграл от заданной функции с погрешностью, не превышающей0,001375, если будем вести вычисления таким образом, чтобы погрешностьокругления не исказила окончательный результат в пределах точности метода.В соответствии с формулой трапеций (8.3) и учетом рассчитанной ошибки получим Пример 2. Вычислить интеграл из примера 1 по формуле Симпсона при том жечисле отрезков разбиения Для оценки остаточного члена найдем производную четвертого порядка отподынтегральной функции Значение на отрезке ограничено числом 14. Используя формулу (8.7.в), получаем оценку: Приведем полученный результат в соответствии с оценкой Сравнивая этот результат со значением интеграла, полученным в примере 1,заметим, что при одинаковом числе отрезков разбиения формула Симпсона даетответ с большим числом верных знаков.Посмотрим, как можно было бы воспользоваться в данном случае формулой (8.7.в).Пусть требуется найти значение заданного интеграла с точностью Тогда по формуле (3.7.в) получим:

Отсюда Следовательно, для достижения точности достаточно было разбить отрезок на 9 частей.