Пример выполнения работы

1. Разложение функций в ряд Тейлора:

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора функции . Общая формула разложения в ряд Тейлора в окрестности точки по степеням имеет вид

, (1)

где - ошибка ограничения, которую можно определить по формуле

, (2)

где находится между и .

Согласно формулам (1) и (2), разложение функции в ряд Тейлора с шестью членами с учётом выглядит так:

.

Ошибка при такой аппроксимации составит

.

Максимально возможное значение ошибки аппроксимации при разложении рассматриваемой функции в ряд Тейлора с шестью членами составляет

Аналогично разложим функцию в ряд Тейлора с одиннадцатью членами:

.

Ошибка при такой аппроксимации составит

.

Максимально возможное значение ошибки аппроксимации при разложении рассматриваемой функции в ряд Тейлора с шестью членами составляет

Разложим функцию в ряд Тейлора с двадцатью членами:

.

Ошибка при такой аппроксимации составит

.

Максимально возможное значение ошибки аппроксимации при разложении рассматриваемой функции в ряд Тейлора с шестью членами составляет

Мы видим, что при повышении порядка аппроксимирующего полинома точность аппроксимации возрастает нелинейно: при разложении функции в ряд Тейлора с 6 членами порядок ошибки ограничения составляет 10^-4, при разложении в ряд с 11 членами – 10^-9, а при использовании ряда с 20 членами – уже 10^-20.

Рассмотрим теперь разложение в ряд Тейлора функции . Снова воспользуемся формулами (1) и (2):

Разложение функции в ряд Тейлора с шестью членами с учётом выглядит так:

.

Ошибка при такой аппроксимации составит

Поскольку порядок степенной функции, разлагаемой в ряд Тейлора, меньше количества членов в этом ряду, аппроксимирующая функция тождественна аппроксимируемой, следовательно, ошибка аппроксимации равна нулю.

Разложение функции в ряд Тейлора с тремя и более членами неактуально, так как такое разложение будет в точности повторять исходную функцию. Соответственно, нет необходимости выполнять разложение в ряды с 11 и 20 членами и вычислять для них ошибку аппроксимации – результаты будут такими же, как в приведённом выше разложении в ряд с 6 членами.

2. Аппроксимация функций с помощью полиномов Чебышева

Любую функцию на отрезке [-1; 1] можно представить как линейную комбинацию полиномов Чебышева :

(3)

Полиномы Чебышева определяются следующим образом:

Или по рекуррентной формуле:

Коэффициенты разложения определяются по формулам

(4)

Представим исходную функцию в виде линейной комбинации шести полиномов Чебышева, используя формулы (3) и (4):

В общем случае разложение функции полиномами Чебышева выглядит следующим образом:

где n – требуемое количество полиномов Чебышева в разложении функции.

Из результатов расчётов видно, что аппроксимация функций полиномами Чебышева даёт более точные результаты по сравнению с разложением функций в ряд Тейлора, особенно при небольших количествах элементов ряда. При разложении рассматриваемой функции в ряд Тейлора с 6 членами точность расчётов на уровне 10^-4, а при аппроксимации функции линейной комбинацией из 6 полиномов Чебышева – уже 10^-6.

Представим функцию в виде линейной комбинации шести полиномов Чебышева, используя формулы (3) и (4):

Рассчитаем значения функций в точках -1, 0 и 1 и их отклонения от значений исходной функции в этих точках:

3. Экономизация степенных рядов

Метод экономизации рядов заключается в корректировке коэффициентов частичной суммы степенного ряда функции f(x). Он состоит из следующей последовательности действий:

1. Вычислить необходимое число коэффициентов степенного ряда для приближения функции f(x) с требуемой точностью на отрезке [a,b];
2. Сделать замену переменных для отображения интервала [a,b] в интервал [-1,1];
3. Найти коэффициенты разложения полученного полинома по полиномам Чебышева;
4. В полученном разложении взять первые k членов так, чтобы коэффициент при T_k+1 по абсолютной величине был меньше необходимой точности вычислений;
5. Представить полученную сумму многочленом стандартного вида;
6. Сделать обратную замену переменных.

Метод экономизации рядов позволяет распространить ошибку ограничения по всему интервалу, при этом уменьшив количество необходимых для вычисления слагаемых.

Для функции .

Из метода разложения функции в ряд Тейлора имеем

С помощью метода приближения функции полиномами Чебышева получим

Полиномы Чебышева представляют собой следующие выражения:

Подставляя T₁ – T₉ в х¹¹, получим

Подставим х¹¹ в выражение для ряда Тейлора:

Значение T₁₁ на рассматриваемом интервале (xϵ[-1;1]) по модулю не превосходит 1; для оценки ошибки примем T₁₁=1:

Отклонение значения полинома f_Э(x) от истинного значения функции составляет

Заметим, что порядок приближающего полинома равен 9. Сравним значение ошибки приближения с ошибкой при использовании ряда Тейлора девятой степени:

Мы видим, что ошибка приближения функции с помощью ряда Тейлора почти в пять раз больше, чем при прближении этой функции полиномом, полученным по методу экономизации степенных рядов (при том же порядке полинома). Из полученных значений можно сделать следующий вывод: экономизация степенного ряда позволяет получить в 5 раз более точный результат, чем обычный ряд Тейлора, при незначительном усложнении вычислений.