Построение сплайн-функции

Цель работы: Изучить интерполяцию сплайн-функциями, научиться строить сплайны для функции, заданной таблично.

Задание: По заданной таблице значений составить линейный, параболический и кубический сплайны ( и вычислить, используя проверочную функцию). В одной системе координат построить график функции и графики всех сплайнов. Сделать анализ представленных методов.

Решение:

Сплайном называется непрерывная функция, принимающая в узлах интерполяции соответствующие значения и описываемая на отдельных отрезках () некоторыми полиномами невысокого порядка (обычно второго или третьего). Сплайны хороши тем, что дают возможность получить приближенный аналитический вид функции, при этом степень полинома остается невысокой. Главным недостатком сплайнов является то, что на каждом интервале функция приближается отдельным полиномом. Таким образом, для всего промежутка требуется построить полином. При увеличении степени сплайна повышается точность интерполяции, однако, увеличивается количество вычислений и порядок полинома. Простейшим случаем сплайн-функции является линейный сплайн, получающийся соединением точек …, ломаной линией. В этом случае

где коэффициенты и можно найти по формулам:

Параболический сплайн строится на полиномах второго порядка

.

При построении параболического сплайна обычно считается заданной производная функции в первом узле . Коэффициенты полиномов такого сплайна могут быть вычислены по следующим рекуррентным формулам:

1)

i)

где

Чаще всего на практике используют кубический сплайн, так как при достаточно низком порядке полиномов он дает удовлетворительную точность вычислений. Для полиномов кубического сплайна коэффициенты могут быть получены по следующей рекуррентной схеме:

1)

где значения и считаются заданными (на практике часто полагают )

i)

где ,