Демидович.26(33,34,38,42,67,68,69,71,73.1,75)

Исследовать сходимость рядов:

2633. . 2634. . 2638. .

2642. .

Исследовать сходимость знакопеременных рядов:

2667. . 2668. .

2669. . 2671. .

2673.1. . 2675. .

3.

Демидович. 27(16,17,18,20,21,22,23,25,26,28,31).

Определить области абсолютной и условной сходимости рядов:

2716. . 2717. . 2718. .

2720. . 2721. . 2722. .

2723. . 2725. .

2726. . 2728. . 2731. .

БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1.

Демидович 30(51,52,56,58,60,61,66,73,74,89,90).

Доказать равенства: 3051. .

3052. . 3056. .

3058. . 3060. .

3061. Доказать сходимость и определить значение бесконечного произведения .

Исследовать сходимость бесконечных произведений:

3066. . 3073. . 3074. .

Исследовать на абсолютную и условную сходимость бесконечные произведения

3089. . 3090. .

*** Дополнение.

; .

При : – (ф-ла Валлиса).

Def: сходится, если существует, конечен и не равен нулю

.

*) Если и , то произведение называют расходящимся к нулю;

*) Если и , то произведение называют сходящимся к нулю или «нулевым» бесконечным произведением;

*) ~ (бесконечное произведение и ряд сходятся или расходятся одновременно).

*) Необходимое условие сходимости бесконечного произведения:

;

*) Если ( не меняет знак), то следующее бесконечное произведение и ряды сходятся или расходятся одновременно:

~ ;

*) Если и u_n меняет знак, а ряды и сходятся, то сходится и произведение ;

*) называют абсолютно или условно сходящимся при соответствующей сходимости ряда ;

*) Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости бесконечного произведения является абсолютная сходимость ряда .

ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ.

1.

Демидович. 38(43,44,45,46,47,48,51,52,56,57,59,61,68).

С помощью эйлеровых интегралов, вычислить:

3843. . 3844. . 3845. . 3846. . 3847. . 3848. .

Определить область существования и выразить через эйлеровы следующие интегралы:

3851. (n >0). 3852. .

3856. . 3857. . 3859. (n > 0). 3861. . 3868. .

*** Дополнение

n! = (формула Стирлинга);

Г(x) = (Гамма–функция);

B(x, y) = (Бета–функция);

B(x, y) = ; Г(x + 1) = x Г(x); Г(n) = (n – 1)!;

Г(x)Г(1 – x)= ; Г ; Г .