Примеры решения задач. З а д а ч а 20. В упругой среде вдоль оси распространяется плоская гармони­ческая волна от источника

З а д а ч а 20. В упругой среде вдоль оси распространяется плоская гармони­ческая волна от источника, совершающего колебания по закону: где мкм; с^-1; Скорость распространения волны – 75 м/с. В начальный момент времени смещение источника колебаний от положения равновесия имело максимальное по модулю отрицательно значение. Найти: 1) волновое число; 2) длину волны; 3) скорость колебаний частиц, расположенных на расстоянии 1125 м от источника спустя 15 с от начала колебаний; 4) разность фаз колебаний двух точек, лежащих на одном луче, до которых волна доходит соответственно через 24 и 33 c от начала колебаний источника.

Дано: м; с-1; ; м/с; м; с; с; с. Найти:

Решение. Волновое число связано с циклической частотой колебаний, скоростью и длиной волны соотношением: . (153) Отсюда длина волны . (154) Уравнение плоской бегущей в направлении оси волны с учетом выражения (153) имеет вид: . (155) Скорость колебаний частиц в любой точке волны можно найти, продифференцировав закон (155): (156)

Следовательно, скорость колебаний частиц в точке волны с координатой в момент времени определяется равенством:

. (157)

За время волна, движущаяся с постоянной скоростью, достигает точки с координатой

(158)

Отсюда

(159)

Фаза волны в рассматриваемом случае . Следовательно, в любой фиксированный момент времени разность фаз колебаний в точках с координатами и можно вычислить по формуле:

(160)

Если подставить в формулу (160) значения координат колеблющихся точек (159), то получим расчетную формулу для разности фаз:

. (161)

Подставляем в выражения (153), (154), (157) и (161) численные данные:

м^-1;

м;

м;

рад, следовательно, эти точки колеблются в одной фазе.

Ответ: , м^-1;

, м;

, м;

, , т. е. точки колеблются в одной фазе.

З а д а ч а 21. Плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси в однородной изотропной непроводящей немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью, равной 2,3. Частота, амплитуда и начальная фаза колебаний напряженности магнитного поля соответственно равны 4,1·10⁷ Гц, 7,8·10³ А/м и . Найти: 1) длину волны в вакууме и в данной среде; 2) напряженность электрического поля в точках, расположенных на расстоянии 3,2 м от источника, в момент времени, равный половине периода.

Дано: ; ; Гц; А/м; ; Ф/м; Гн/м; м/с; м; . Найти: ; ; .

Решение. Длина волны связана с частотой и скоростью распространения соотношением: . (162) Скорость распространения электромагнитной волны в вакууме – , в среде – , (163) поэтому вычисляемые по формуле (162) длины волны в вакууме и в среде соответственно равны: ; . (164)

Подставив в соотношения (164) численные данные, получим: м; м.

Напряженность электрического поля (см. рис. 11), где

. (165)

Амплитуду колебаний напряженности электрического поля найдем, пользуясь соотношением :

. (166)

Циклическую частоту и волновое число найдем, пользуясь соответствующими определениями и формулой (163):

; (167)

. (168)

С учетом выражений (166) – (168) формула (165) принимает вид:

. (169)

Подставив в соотношение (169) численные данные, получим при (с учетом равенства ) и :

МВ/м.

Ответ: , м;

, м;

МВ/м.