Матричные уравнения

Матричными уравнениями называются уравнения вида А∙Х = В (6) и Х ∙ А = В (7), где А и В – данные матрицы, Х – искомая матрица.

Уравнения вида (6) решаются умножением слева на матрицу А ^-1 (если она существует) обеих частей уравнения

А ^-1∙ А∙Х = А ^-1∙ В, Е∙Х = А ^-1∙ В, Х = А ^-1∙ В.

Уравнения вида (7) решаются умножением обеих частей уравнения на матрицу А ^-1 справа.

Х∙А∙А ^-1 = В∙А ^-1, Х∙Е = В∙А ^-1, Х = В∙А ^-1.

Рассмотрим порядок решения матричных уравнений на конкретном примере.

Задача 7. Решить матричное уравнение

Х = .

Решение. Обозначим А = и В = .

Очевидно, что это матричное уравнение вида (7), и оно будет решаться умножением его обеих частей на матрицу А ^-1 справа. Тогда искомая матрица Х = В ∙ А ^-1. Найдем А ^-1 в соответствии с вышеизложенным алгоритмом

→ →

→ → →

→ .

Выносим за знак правой матрицы и получаем обратную матрицу

А ^-1 = .

Отсюда

Х = В∙А ^-1 = ∙ =

= = .

Выполним проверку полученного результата

Х∙А = =

.

Вопросы для самопроверки

1. Запишите систему m линейных уравнений с n неизвестными в общем виде. Что называется решением этой системы?

2. В чем состоит метод Гаусса?

3. Какие равносильные преобразования можно выполнять над уравнениями системы?

4. Какая система называется совместной; несовместной; неопределенной?

5. Как найти общее решение неопределенной системы? Как можно получить частное решение системы?

6. Дайте определение матрицы.

7. Какая матрица называется квадратной?

8. Какой вид имеет единичная матрица?

9. Какие операции можно производить над матрицами?

10. Как найти обратную матрицу?