Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Другим, более универсальным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса.

Пусть система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

(3)

Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную матрицу А, содержащую m строк и n столбцов. Если матрица дополнена столбцом свободных членов, то она называется расширенной матрицей системы – .

Величины a_ij называются элементами матрицы, i = 1,2,… m, j = 1,2,… n.

Если m = n, то матрица А называется квадратной. Диагональ матрицы, составленная из элементов a_11, a₂₂, … a_nn,называется ее главной диагональю.

Решением системы линейных уравнений (1) называется совокупность n чисел k _1, k ₂, …, k_n такая, что при подстановке ее вместо неизвестных каждое из уравнений системы (2) обращается в равенство.

Если система не имеет решений, то она называется несовместной. Если система имеет одно решение, то она называется определенной. Если система линейных уравнений имеет более одного решения, то она называется неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Рассмотрим метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса решения системы линейных уравнений. С помощью преобразований, которые не нарушают равносильность системы уравнений, а именно:

а) перестановка уравнений в системе;

б) умножение обеих частей любого уравнения на число, отличное от нуля;

в) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на любое число, отличное от нуля;

от системы (2) переходят к системам вида:

(4)

или (5)

Система (4) называется системой треугольного вида, а система (5) – системой трапецеидального вида.

В системе (4) из последнего уравнения находится х _n, затем, подставив его значение в предпоследнее уравнение, находим x _n-1. Продолжая далее, найдем, что система (4), а, следовательно, и система (2) обладает единственным решением.

Если система приведена к виду (5), то переменным x _k+1, x _k+2, … x _n можно придавать произвольные значения и затем решать как систему (2). В этом случае переменные x _k+1, x _k+2, …, x _n называются свободными или независимыми переменными, а переменные x _1, x ₂, …, x _n называются связанными или зависимыми переменными.

При решении системы линейных уравнений методом Гаусса для приведения ее к виду (4) или (5) следует выписать расширенную матрицу системы и выполнить над строками матрицы следующие элементарные преобразования:

а) перестановка местами двух строк;

б) умножение элементов некоторой строки на число, отличное от нуля;

в) прибавление к элементам i- ой строки соответствующих элементов j- ой строки, умноженной на любое число.

Рассмотрим конкретный пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Задача 4. Решить систему уравнений

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы

.

Преобразуем эту матрицу таким образом, чтобы элементы, стоящие ниже главной диагонали, были равны нулю. Для удобства вычисления третью строку переставим на первое место

.

Умножим первую строку на –2 и прибавим ко второй строке, а затем, умножив первую строку на –3, прибавим ее к третьей строке. Получим

→ .

Оставив первую и вторую строки без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на –5

.

Полученной треугольной матрице соответствует треугольная система уравнений

которая равносильна данной системе.

Из последнего уравнения находим х ₃ = 1. Подставляя значение х ₃ во второе уравнение, находим х ₂

_, х ₂ = 1.

Подставляем найденные значения х ₃ и х ₂ в первое уравнение системы и находим х ₁

, х ₁ = 3.

Система имеет единственное решение.

Ответ: х ₁ = 3; х ₂ = 1; х ₃ = 1.

Задача 5. Решить систему уравнений

Решение. Системы, имеющие более трех уравнений, удобнее решать методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу системы. Умножим первую строку на –2 и прибавим ко второй строке, а затем, умножив первую строку на –3, прибавим ее сначала к третьей строке, а потом к четвертой. Получим

Оставив первую и вторую строки без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на –1, а к четвертой прибавим вторую, умноженную на –2. Имеем

→ .

Полученной трапецеидальной матрице соответствует трапецеидальная система уравнений

Так как получена система трапецеидального вида, то система имеет бесконечное множество решений. Количество свободных неизвестных равно разности между числом неизвестных и количеством уравнений системы. Пусть х ₃ и х ₄ – свободные неизвестные, то есть х ₃ и х ₄ могут принимать любые действительные значения. Тогда х ₁ и х ₂ связанные неизвестные, которые должны быть выражены через свободные. Выразим из второго уравнения х ₂

.

Выразим из первого уравнения х ₁, а затем подставим выражение х ₂.

, ,

.

Итак, общее решение системы имеет вид

Придав х ₃ и х ₄ произвольные значения, можно получить частные решения системы. Например, при х ₃ = 1, х ₄ = 2, х ₁ = –4, х ₂ = 3, частное решение (–4; 3; 1; 2).

Задача 6. Решить систему уравнений

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы

.

Оставив первую строку без изменения, ко второй строке, умноженной на 3, прибавим первую, умноженную на –5, а к третьей строке, умноженной также на 3, прибавим первую, умноженную на –2. Затем, оставив первую и вторую строки без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на –1. Получим

→ → .

В последнем уравнении все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля. Так как , то третье уравнение не имеет решения, то есть данная система уравнений несовместна.