Методические указания. Вектором называется направленный отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало

Вектором называется направленный отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, вторая – за конец. Если точка А – начало вектора, а точка В – его конец, то вектор обозначается символом . Вектор можно изображать и одной малой латинской буквой со стрелочкой над ней. Длина вектора и его направление в этом случае задаются проекциями этого вектора на оси координат – . Длина вектора называется его модулем и обозначается символом или .

Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Два вектора и называются равными, если они коллинеарны и имеют одинаковое направление.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов, а также умножения вектора на число.

Пусть и два свободных вектора, имеющих произвольную длину и произвольные направления. (Рисунок 3а).

Суммой двух векторов и называется третий вектор , соединяющий начало первого вектора с концов второго вектора , при условии, что конец первого вектора и начало второго совмещены. Совмещение, разумеется, производится параллельным переносом. (Рисунок 3b).

Рисунок 3а Рисунок 3b

Рисунок 3 – Сумма двух векторов

Разностью двух векторов и называется третий вектор , соединяющий конец второго вектора с концов первого вектора , при условии, что начало первого вектора и начало второго совмещены. (Рисунок 4а).

Произведением вектора на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину , и то же направление, что и вектор , если , и направление, противоположное направлению вектору , если .

Рисунок 4а – Разность двух Рисунок 4b – Умножение вектора

векторов на число

Например, есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину в два раза большую, чем вектор . (Рисунок 4b).

Векторы , , … называются линейно зависимыми, если существуют числа , не все равные нулю, для которых имеет место равенство

. (1)

Векторы , , … называются линейно независимыми, если равенство (1) имеет место только при . Из равенства (1), предполагая, например, что , получаем

.

Полагая

, , …, ,

имеем

.

Выражение

называется линейной комбинацией векторов , , … .

Таким образом, если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них всегда можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Задача 2. Даны три вектора (3, –3); (0, 4); (9, –1). Проверить, что векторы и линейно независимы. Записать вектор как линейную комбинацию и . Сделать чертеж в системе координат.

Решение. Два вектора на плоскости линейно зависимы, если они коллинеарны. Признаком их коллинеарности является пропорциональность координат векторов.

Координаты векторов и не пропорциональны

,

следовательно, векторы и – не коллинеарны, то есть линейно независимы.

На плоскости любой вектор может быть представлен их линейной комбинацией, то есть

.

По правилам действий с векторами в координатах можно записать систему из двух соответствующих уравнений:

.

В данной задаче имеем:

.

Решив систему уравнений, получим

, .

Таким образом, найдены коэффициенты в разложении вектора по векторам и .

.

Сделаем чертеж в прямоугольной системе координат.

Рисунок 5 – Построение вектора как линейной комбинации

векторов и

Вопросы для самопроверки

1. Как определяются декартовы координаты точки на плоскости?

2. Как вычислить расстояние между двумя точками?

3. Напишите формулы для определения координат середины отрезка.

4. Как найти координаты точки пересечения двух линий?

5. Что называется угловым коэффициентом прямой? Какие прямые не имеют угловых коэффициентов?

6. Сформулируйте признаки параллельности и перпендикулярности прямых?

7. Как найти угол между двумя прямыми, заданными своими уравнениями?

8. Напишите канонические уравнения кривых второго порядка.

9. Напишите уравнение окружности радиуса R с центром в точке Q (a; b).

Тема 3 Элементы линейной алгебры

Литература: 1. Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики [Текст]: учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев – М.: Издательство Астрель, 2001. – 656 с.

2. Шипачев В.С. Высшая математика [Текст]: учеб. пособие для вузов / В.С. Шипачев – М.: Высшая школа, 2008. – 479 с.

3. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от арифметики до эконометрики [Текст]: учебн.-справоч. пособие / Кремер Н.Ш., Путко Б.П., Тришин И.М. – М.: Высшее образование, 2007. – 646 с.