Методические указания. Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором изучают свойства геометрических объектов (точек

Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором изучают свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей и тел) средствами алгебры и математического анализа при помощи метода координат. Сам термин «аналитическая геометрия» был предложен И. Ньютоном.

Суть аналитической геометрии заключается в том, что геометрическим объектам сопоставляются уравнения или системы уравнений, так что их геометрические свойства выражаются в свойствах их уравнений. Благодаря этому можно находить длины отрезков, их ориентацию в пространстве, углы между ними, площади различных фигур и т. п., без построения чертежей с помощью линейки и циркуля, без измерения длин отрезков и углов между ними.

В аналитической геометрии наиболее широко используется так называемая декартова система координат, автором которой является знаменитый французский математик, философ, физик и физиолог Р. Декарт, живший в первой половине 17 века. Эта система координат на плоскости представляет собой две пересекающиеся под прямым углом оси, одна из которых направлена горизонтально слева направо и называется осью абсцисс. Вторая ось направлена снизу вверх, она перпендикулярна оси абсцисс и называется осью ординат. Точка пересечения осей обозначается буквой О и имеет нулевое значение как на оси абсцисс, так и на оси ординат.

Всю плоскость эти две оси разбивают на четыре части называемые четвертями или квадрантами (от латинского qwadro – четыре). Верхний правый квадрант называется первым, верхний левый – вторым, далее, двигаясь против часовой стрелки, – третий и четвертый. Любую точку М на плоскости можно определить двумя числами – расстояниями от этой точки до координатных осей. Эти числа называются координатами данной точки. Расстояние от точки М до оси ординат обозначается х, и называется абсциссой этой точки, расстояние до оси абсцисс обозначается у, и называется ординатой точки М.

Поэтому краткая запись положения точки на плоскости имеет вид М(х; у), где х и у некоторые числа. Естественно каждая точка плоскости отличается от другой значением хотя бы одной координаты.

у М ₂(х ₂; у ₂)

у ₁ N

М₁ (х ₁; у ₁)

0 х ₁ х ₂ х

Рисунок 1 – Определение расстояния между двумя точками

на плоскости

Если даны две точки, М ₁ и М ₂, координаты которых известны, можно легко найти расстояние между ними. Как видно из рисунка 1, искомое расстояние это гипотенуза прямоугольного треугольника Δ М ₁ М ₂ N. По теореме Пифагора

.

В то же время, очевидно, , . Тогда

.

Используя далее систему координат и формулы аналитической геометрии, мы можем найти уравнения прямых, находить координаты точек их пересечения, углы между ними и тому подобные характеристики геометрических объектов. Более наглядно это можно проиллюстрировать в ходе решения конкретной задачи

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А (–2; 4), В (6; –2), С (8; 7). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон в общем виде; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001; 4) координаты точки пересечения медиан Q; 5) координаты точки пересечения высот H; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС. Сделать чертеж.

Решение. 1) Расстояние между двумя точками А (х ₁; у ₁) и В (х ₂; у ₂) вычисляется по формуле

АВ = .

Подставив в нее координаты точек А и В, получаем

АВ = = 10.

У

C

6 К

A Q

2 Н D

E

–2 0 2 4 6 8 10 х

B

Рисунок 2 – Треугольник АВС на плоскости

2) Уравнение прямой, проходящей через точки А (х ₁; у ₁) и В (х ₂; у ₂) имеет вид

.

Подставив в него координаты точек А и В получим уравнение прямой АВ

или 3 х + 4 у – 10 = 0.

Аналогично получаем уравнения прямых АС и ВС:

АС: 3 х – 10 у + 46 = 0; ВС: 9 х – 2 у – 58 = 0.

3) Для нахождения внутреннего угла А треугольника воспользуемся формулой тангенса угла между двумя прямыми

.

Из рисунка 2 следует, что в качестве k ₁ следует взять угловой коэффициент прямой АВ, а в качестве k ₂ – угловой коэффициент прямой АС.

Чтобы найти угловой коэффициент прямой АВ, запишем ее уравнение в виде у = kx + b. Тогда . Следовательно, . Аналогично из уравнения прямой АС 3 х – 10 у + 46 = 0 находим . Подставив в формулу для вычисления tg A угловые коэффициенты и , получим

.

Откуда A ≈ arctg 1,36»0,935 рад.

4) Известно, что точка Q пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда для отрезков медианы CE имеет место равенство: . Таким образом, координаты точки Q можно вычислить по формулам деления отрезка в данном отношении

, .

Сначала по этим формулам найдем координаты точки Е, делящей отрезок АВ пополам, при этом l = 1.

, .

Таким образом, Е (2; 1).

Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении для нахождения координат точки Q, принадлежащей отрезку СЕ, подставив в них координаты точек С и Е, при этом l = 2,

, .

Итак, Q (4; 3) – точка пересечения медиан треугольника.

5) Высота АD перпендикулярна стороне ВС, поэтому угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, . Так как , то .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М ₁(х ₁; у ₁), имеет вид

y – у ₁ = k (x – x ₁).

Подставив в него координаты точки А (–2; 4) и найденный угловой коэффициент , получаем уравнение высоты АD

или 2 х + 9 у – 32 = 0.

Высота ВК перпендикулярна стороне АС, значит , , тогда . Подставив в уравнение y – у ₁ = k (x – x ₁) координаты точки В (6; –2) и угловой коэффициент , получим уравнение высоты ВК

или 10 х + 3 у – 54 = 0.

Решив систему уравнений

получаем координаты точки H

, .

6) Множество точек треугольника АВС можно рассматривать как пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, третья – прямой АС и содержит точку В.

Подставив в левую часть уравнения прямой АВ координаты точки С, получим

3×8 + 4×7 – 10 > 0.

Следовательно, неравенство, определяющее первую из этих полуплоскостей, имеет вид

3 х + 4 у – 10 ≥ 0.

Аналогично, вторая полуплоскость определяется неравенством

9 х – 2 у – 58 ≤ 0, третья – 3 х – 10 у + 46 ≥ 0.

Таким образом, множество точек данного треугольника АВС определяется системой:

Тема 2 Линейные операции над векторами

Литература: 1. Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики [Текст]: учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев – М.: Издательство Астрель, 2001. – 656 с.

2. Шипачев В.С. Высшая математика [Текст]: учеб. пособие для вузов / В.С. Шипачев – М.: Высшая школа, 2008. – 479 с.

3. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от арифметики до эконометрики [Текст]: учебн.-справоч. пособие / Кремер Н.Ш., Путко Б.П., Тришин И.М. – М.: Высшее образование, 2007. – 646 с.