Обратная матрица. Матрица А-1 называется обратной матрице А, если А∙А-1 = А-1∙А = Е

Матрица А ^-1 называется обратной матрице А, если А∙А ^-1 = А ^-1∙ А = Е.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк производится по следующим правилам:

1) составляется матрица С порядка n ×2 n, которая получается из данной приписыванием справа единичной матрицы

С = ,

2) элементарными преобразованиями матрица С приводится к виду

.

Тогда справа от вертикальной черты стоит матрица А ^-1. Рассмотрим конкретный пример.

Найти обратную матрицу для матрицы А = .

Будем находить матрицу, обратную матрице А, поэтапно. Вначале составим матрицу, приписав справа к данной матрице А единичную матрицу. Новая матрица будет иметь три строки и шесть столбцов.

→

1 шаг. Первую строку оставляем без изменения и делаем нули в первом столбце под элементом а ₁₁. Для этого ко второй строке прибавляется первая, умноженная на (–2), к третьей – первая, умноженная на (–3).

→ →

2 шаг. В полученной матрице остается без изменения вторая строка, а в строках над и под элементом а ₂₂ (это 1) нужно сделать нули. Для этого к первой строке прибавляется вторая, умноженная на –1, к третьей строке также прибавляется вторая, умноженная на (–2).

→ →

3 шаг. Оставляем без изменения третью строку полученной матрицы и делаем нули в третьем столбце над элементом а ₃₃. Для этого к первой строке умноженной на шесть, прибавляем третью, умноженную на пять. Ко второй строке, умноженной на (–3), прибавляем третью.

→ →

4 шаг. Чтобы слева оказалась единичная матрица, необходимо все элементы первой и третьей строк разделить на 6, а второй на –3. Справа от единичной матрицы получим матрицу А ^-1.

.

Для удобства вынесем множитель за знак матрицы.

.

Итак, мы получили матрицу, обратную матрице А.