Лабораторная работа № 5. Формула прямоугольников

Пусть требуется вычислить значение интеграла

.

Если известна первообразная функции f(x), то интеграл можно вычислить формулой Ньютона-Лейбница

Но, если первообразную F(x) не удается найти в аналитической форме, или подынтегральная функция задана в виде таблицы, то мы прибегаем к формулам численного интегрирования.

Пусть отрезок интегрирования [a,b] разбит на n частей с шагом h=(b-a)/n. Тогда

(формула левых прямоугольников),

(формула правых прямоугольников),

(формула средних прямоугольников),

где .

Трапеции стр 147

Метод Симпсона стр 149 -154

Программа вычисления значения интеграла на языке VBA имеет вид:

Лабораторна робота №6 ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Скласти алгоритм і програму чисельного розв’язання задачі Коші для диференціального рівняння на відрізку [0;0,06] такими методами:

- методом Ейлера з кроком 0,01;

- модифікованим методом Ейлера з кроком 0,01;

- методом Ейлера-Коши з кроком 0,01;

- методом Рунге-Кутта з кроком 0,01;

- методом Рунге-Кутта з точністю

- метод Ейлера

Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции y в точках t = t_i + с помощью формулы:

y = y_i + f_i = y_i + f (t_i, y_i).

Затем находится значение правой части уравнения (6.1) в средней точке

f = f (t , y )

и затем полагается

y_{i+ 1} = y_i + h f , i = 0, 1, …, n – 1. (6.12)

Формулы (6.12) являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.

Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом со вторым порядком точности

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения

= y_i + h f (t_i, y_i). (6.13)

Затем приближения искомого решения находятся по формуле:

y_{i+ 1} = y_i + [ f (t_i, y_i) + f (t_{i+ 1}, )], i = 0, 1, …, n – 1. (6.14)

Формулы (6.14) являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера – Коши.

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши, так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности.