Приближения функции по методу наименьших квадратов

Пусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений: , i =0,1,- n. Требуется найти многочлен фиксированной степени m, для которого среднеквадратичное отклонение (СКО) минимально.

Так как многочлен определяется своими коэффициентами, то фактически нужно подобрать набор кофициентов , минимизирующий функцию .

Используя необходимое условие экстремума, , k =0,1,- m получаем так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов: , k =0,1,- m.

Полученная система есть система алгебраических уравнений относительно неизвестных . Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Однако при высоких степенях m система является плохо обусловленной. Поэтому метод наименьших квадратов применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5. Решение нормальной системы можно найти, например, методом Гаусса.

Запишем нормальную систему наименьших квадратов для двух простых случаев: m =1, m =2 и m =3.

При m =0 многочлен примет вид: . Для нахождения неизвестного коэффициента имеем уравнение: . Получаем, что коэффициент есть среднее арифметическое значений функции в заданных точках.

Если используется многочлен первой степени , то нормальная система уравнений примет вид:

Если используется многочлен второй степени, то нормальная система уравнений примет вид:

Если используется многочлен третьей степени, то нормальная система уравнений примет вид:

Если аппроксимирующая функция имеет вид:

Составим функцию и запишем для нее необходимое условие экстремума:

Тогда нормальная система примет вид:

Получили линейную систему уравнений относительно неизвестных параметров и, которая легко решается.