ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Двусторонние квантили распределения Стьюдента

Число степеней	a
свободы	0,1	0,05	0,01
	6,314	12,706	63,657
	2,920	4,303	9,925
	2,353	3,182	5,841
	2,132	2,776	4,604
	2,015	2,571	4,032
	1,943	2,447	3,707
	1,895	2,365	3,449
	1,860	2,306	3,355
	1,833	2,262	3,250
	1,812	2,228	3,169
	1,796	2,201	3,106
	1,782	2,179	3,055
	1,771	2,160	3,012
	1,761	2,145	2,977
	1,753	2,131	2,947
	1,746	2,120	2,921
	1,740	2,110	2,898
	1,734	2,101	2,878
	1,729	2,093	2,861
	1,725	2,086	2,845
	1,708	2,060	2,878
	1,697	2,042	2,750
	1,684	2,021	2,704
	1,676	2,009	2,678
	1,660	1,984	2,626
	1,652	1,972	2,601
¥	1,645	1,960	2,576

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Таблица критерия Дарбина-Уотсона для a= 0,05

	п= 1	п= 2	п= 3	п= 4	п= 5
Т	d 1	d 2	d 1	d 2	d 1	d 2	d 1	d 2	d 1	d 2
	0,610	1,400	–	–	–	–	–	–	–	–
	0,700	1,356	0,467	1,896	–	–	–	–	–	–
	0,763	1,332	0,559	1,777	0,368	2,287	–	–	–	–
	0,824	1,320	0,624	1,699	0,455	2,128	0,296	2,588	–	–
	0,879	1,320	0,697	1,641	0,525	2,016	0,376	2,814	0,243	2,822
	0,927	1,324	0,758	1,604	0,595	1,928	0,444	2,283	0,316	2,645
	0,971	1,331	0,812	1,579	0,658	1,864	0,512	2,177	0,379	2,506
	1,010	1,340	0,861	1,562	0,715	1,816	0,574	2,094	0,445	2,390
	1,045	1,350	0,905	1,551	0,767	1,779	0,632	2,030	0,505	2,296
	1,077	1,361	0,946	1,543	0,814	1,750	0,685	1,977	0,562	2,220
	1,106	1,371	0,982	1,539	0,857	1,728	0,734	1,935	0,615	2,157
	1,133	1,381	1,015	1,536	0,897	1,710	0,779	1,900	0,664	2,104
	1,158	1,391	1,046	1,535	0,933	1,696	0,820	1,872	0,710	2,060
	1,180	1,401	1,074	1,536	0,967	1,685	0,859	1,848	0,752	2,023
	1,201	1,411	1,100	1,537	0,998	1,676	0,894	1,828	0,792	1,991
	1,221	1,420	1,125	1,538	1,026	1,669	0,927	1,812	0,824	1,964
	1,239	1,429	1,147	1,541	1,053	1,664	0,958	1,797	0,863	1,940
	1,257	1,437	1,168	1,543	1,078	1,660	0,986	1,785	0,895	1,920
	1,273	1,446	1,188	1,546	1,101	1,656	1,013	1,775	0,925	1,902
	1,288	1,454	1,206	1,550	1,123	1,654	1,038	1,767	0,953	1,886
	1,352	1,489	1,284	1,567	1,214	1,650	1,143	1,739	1,071	1,833
	1,442	1,544	1,391	1,600	1,338	1,659	1,285	1,721	1,230	1,786
	1,503	1,585	1,452	1,628	1,421	1,674	1,378	1,721	1,335	1,771
	1,549	1,616	1,514	1,652	1,480	1,689	1,444	1,727	1,408	1,767
	1,583	1,641	1,554	1,672	1,525	1,703	1,494	1,735	1,464	1,768
	1,611	1,662	1,586	1,688	1,560	1,715	1,534	1,743	1,507	1,772
	1,635	1,679	1,612	1,703	1,589	1,726	1,568	1,751	1,542	1,776
	1,654	1,694	1,634	1,715	1,613	1,736	1,592	1,758	1,571	1,780
	1,720	1,746	1,706	1,760	1,693	1,774	1,679	1,789	1,665	1,802
	1,758	1,778	1,748	1,789	1,736	1,799	1,728	1,810	1,718	1,820

Окончание приложения 2

	п= 6	п= 7	п= 8	п= 9	п= 10
Т	d 1	d 2	d 1	d 2	d 1	d 2	d 1	d 2	d 1	d 2
	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
	0,203	3,005	–	–	–	–	–	–	–	–
	0,268	2,832	0,171	3,149	–	–	–	–	–	–
	0,328	2,692	0,230	2,985	0,147	3,266	–	–	–	–
	0,389	2,572	0,286	2,848	0,200	3,111	0,127	3,360	–	–
	0,447	2,472	0,343	2,727	0,251	2,979	0,175	3,216	0,111	3,438
	0,502	2,388	0,398	2,624	0,304	2,860	0,222	3,090	0,155	3,304
	0,554	2,318	0,451	2,537	0,356	2,757	0,272	2,975	0,198	3,184
	0,603	2,257	0,502	2,461	0,407	2,667	0,321	2,873	0,244	3,073
	0,649	2,206	0,549	2,396	0,456	2,589	0,369	2,783	0,290	2,974
	0,692	2,162	0,595	2,339	0,502	2,521	0,416	2,704	0,336	2,885
	0,732	2,124	0,637	2,290	0,547	2,460	0,461	2,633	0,380	2,806
	0,769	2,090	0,677	2,246	0,588	2,407	0,504	2,571	0,424	2,734
	0,804	2,061	0,715	2,208	0,628	2,360	0,545	2,514	0,465	2,670
	0,837	2,035	0,751	2,174	0,666	2,318	0,584	2,464	0,506	2,613
	0,868	2,012	0,784	2,144	0,702	2,280	0,621	2,419	0,544	2,560
	0,998	1,931	0,926	2,034	0,854	2,141	0,782	2,251	0,712	2,363
	1,175	1,854	1,120	1,924	1,064	1,997	1,008	2,072	0,945	2,149
	1,219	1,822	1,246	1,875	1,201	1,930	1,156	1,986	1,110	2,044
	1,372	1,808	1,335	1,850	1,298	1,894	1,260	1,939	1,222	1,984
	1,433	1,802	1,401	1,837	1,369	1,873	1,337	1,910	1,305	1,948
	1,480	1,801	1,428	1,831	1,425	1,861	1,397	1,893	1,369	1,925
	1,518	1,801	1,494	1,827	1,469	1,854	1,445	1,881	1,420	1,909
	1,550	1,803	1,528	1,826	1,506	1,850	1,484	1,874	1,462	1,898
	1,651	1,817	1,637	1,832	1,622	1,847	1,608	1,862	1,594	1,877
	1,707	1,831	1,697	1,841	1,686	1,852	1,675	1,863	1,665	1,874

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Таблица критерия Фишера для a = 0,05

n1 n2
	18,5	19,0	19,2	19,2	19,3	19,3	19,4	19,4	19,4	19,4
	10,1	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,26	4,21	4,15	4,10	4,06
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,69	3,64
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85
	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75
	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65	2,60
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59	2,54
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,61	2,55	2,49	2,45
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41
	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,54	2,48	2,42	2,38
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39	2,35
	4,24	3,39	2,99	2,76	2,60	2,49	2,40	2,34	2,38	2,24
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21	2,16
	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,08
	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,20	2,13	2,07	2,03
	4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04	1,99
	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,14	2,07	2,02	1,97
	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,13	2,06	2,00	1,95
	3,95	3,10	2,71	2,47	2,32	2,20	2,11	2,04	1,99	1,94
	3,94	3,09	2,70	2,46	2,31	2,19	2,10	2,03	1,97	1,93
	3,92	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	2,06	1,98	1,93	1,88
¥	3,84	3,00	2,60	2,37	2,21	2,10	2,01	1,94	1,88	1,83

n₁ – число степеней свободы числителя, n₂ – число степеней свободы знаменателя.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Квантили распределения c²(n)

n a	0,005	0,010	0,025	0,050	0,100	0,900	0,950	0,975	0,990	0,995
	0,000039	0,00016	0,00098	0,0039	0,0158	2,71	3,84	5,02	6,63	7,88
	0,0100	0,0201	0,0506	0,1026	0,2107	4,61	5,99	7,38	9,21	10,60
	0,0717	0,115	0,216	0,352	0,584	6,25	7,81	9,35	11,34	12,84
	0,207	0,297	0,484	0,711	1,064	7,78	9,49	11,14	13,28	14,86
	0,412	0,554	0,831	1,15	1,61	9,24	11,07	12,83	15,09	16,75
	0,676	0,872	1,24	1,64	2,20	10,64	12,59	14,45	16,81	18,55
	0,989	1,24	1,69	2,17	2,83	12,02	14,07	16,01	18,48	20,28
	1,34	1,65	2,18	2,73	3,49	13,36	15,51	17,53	20,09	21,96
	1,73	2,09	2,70	3,33	4,17	14,68	16,92	19,02	21,67	23,59
	2,16	2,56	3,25	3,94	4,87	15,99	18,31	20,48	23,21	25,19
	0,60	3,05	3,82	4,57	5,58	17,28	19,68	21,92	24,73	26,76
	3,07	3,57	4,40	5,23	6,30	18,55	21,03	23,34	26,22	28,30
	3,57	4,11	5,01	5,89	7,04	19,81	22,36	24,74	27,69	29,82
	4,07	4,66	5,63	6,57	7,79	21,06	23,68	26,12	29,14	31,32
	4,60	5,23	6,26	7,26	8,55	22,31	25,00	27,49	30,58	32,80
	5,14	5,81	6,91	7,96	9,31	23,54	26,30	28,85	32,00	34,27
	6,26	7,01	8,23	9,39	10,86	25,99		31,53	34,81	37,16
	7,43	8,26	9,59	10,85	12,44	28,41	31,41	34,17	37,57	40,00
	9,89	10,86	12,40	13,85	15,66	33,20	36,42	39,36	42,98	45,56
	13,79	14,95	16,79	18,49	20,60	40,26	43,77	46,98	50,89	63,67
	20,71	22,16	24,43	26,51	29,05	51,81	55,76	59,34	63,69	66,77
	35,53	37,48	40,48	43,19	46,46	74,40	79,08	83,30	88,38	91,95
	51,17	53,54	57,15	60,39	64,28	96,58	101,88	106,6	112,3	116,3
	67,33	70,06	74,22	77,93	82,36	118,50	124,34	129,6	135,8	140,2
	83,85	86,92	91,58	95,70	100,62	140,2	146,57	152,2	159,0	163,6

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

· Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998.

· Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление/Пер. в анг./ – М.: Мир, 1974.

· Грубер Й. Эконометрия 1: Введение во множественную регрессию и эконометрию. Ч.1,2,3. Б.м.: Б.и., 1993.

· Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.

· Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА – М., 1997.

· Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. М.: Финансы и статистика, 1987-88.

· Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрика. М.: Статистика, 1977.

· Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. М.: Дело, 2000.

· Ферстер Э., Ренц Б. Методы регрессионного и корреляционного анализа: Руководство для экономистов. М.: Финансы и статистика, 1983.

· Уотшем Т. Дж, Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: ЮНИТИ, 1999.

· Berndt E.R. The practice of econometrics. Classic and contemporary. Adisson-Wesley Publishing Company. Reading-Massachusetts-Menlo Parc-California, 1990.

· Cambell J.Y. and other. The Econometric of Financial Markets. Princeton. Univercity. New Jersey, 1997.

· Econometric models and economic forecasts/Robert S. Pindyck, Daniel L. Rubinfeld. McGraw-Hill, Inc. 1999.

· Goldberger A. A Course in Econometrics. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1990.

· Green W.H. Econometric Analysis, 3rd edition. Prentice-Hall, 1997.

· Hamilton J. D. Time sries Analysis. Princeton University Press, 1994.

· Johnston J., DiNardo J. Econometric methods. International Editions. 1997.

· Kennedy P. A Guide to Econometrics. 4th edition, Blakwell Publishers, 1998.

· Magnus J.R. and Neudecker H. (1999). Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Revised Edition, N. Y., Wiley.

· Verbeek M. A Guide to Modern Econometrics. Wiley, 2000.

^* Пусть каждая из последовательностей { x_i^T } сходится по вероятности к константе: plim _{T ®¥} x_i^T = c_i, i =1,..., п, и пусть функция g непрерывна в точке (c ₁,..., c_п). Тогда plim _{T ®¥} g (x ₁ ^T,..., x_п^T)= g (c ₁,..., c_п).

^*Функция F ^–1(N_t) в окрестности точки p_t может быть аппроксимирована с помощью ряда Тейлора:

F ^–1(N_t)= F ^–1(p_t + e_t)» F ^–1(p_t)+[ d F ^–1(p_t)/ dp_t ]× e_t,

но F ^–1(p_t)= a ¢ x _t, а

Следовательно,

F ^–1(N_t)» a ¢ x _t + e_t / f (p_t).

^* Допущение равенства дисперсий – не слишком сильное. Если дисперсия ошибки e принимает вместо 1 значение s ², то это равносильно умножению всех коэффициентов a на s. Знак произведения a ¢ x при этом не изменится. Соответственно не изменится и соотношение между латентной переменной y ^* и наблюдаемой переменной y.

^*Индекс 2 используется для обозначения двумерного нормального распределения с плотностью j ₂ и интегральной функцией Ф₂. Во всех остальных случаях индекс 2 показывает, что данная переменная находится во втором уравнении модели (10.57). Как и раньше, j (.) и Ф(.) обозначают одномерные стандартные нормальные плотности и интегральные функции.

^* х _t =[ х _{1 t} , х _{2 t} ]¢.

^* См. раздел 10.5.

^* См. сноску на с. 513.

^* Доказательство:

Используя (10.142), выражение математического ожидания цензурированной переменной запишем в следующем виде:

M [ y ]= P (y = b)´ M [ y | y = b ]+ P (у > b)´ M [ y | у > b ]=

= P (у^* £ b)´ b + P (у^* > b)´ M [ y^* | у^* > b ]=F× b +(1–F)×(m + s × l).

Используя известную формулу представления дисперсии случайной величины D [ y ]= M [условная дисперсия]+ D [условное среднее] с учетом выражений (10.142)–(10.143), имеем

M [условное среднее]=F× D [ y | y = b ]+(1–F)× D [ y | у > b ]=

=F×0+(1–F)× D [ y^* | у^* > b ]= (1–F)× s ²×(1– d);

D [условное среднее]=F{ b – M [ y ]}²+(1–F)×{ M [ y | у > b ]– M [ y ]}²=

=F{ b –F b –(1–F)×(m + s × l)}²+(1–F)×{(m + s × l)–F b –(1–F)×(m + s × l)}²=

=F{(1–F)×(b – m – s × l)}²+(1–F)×{F(b – m – s × l)}².

Сделав замену b – m = s×b,приведем в этом выражении подобные составляющие. В результате получим:

D [условное среднее]={F×(1–F)²+(1–F)×F²}× s ²×(b – l)²=

=F×(1–F)× s ²×(b – l)².

Из последнего выражения непосредственно следует, что дисперсия D [ y ] может быть представлена в следующем виде:

D [ y ]= s ²×(1–F)×[(1– d)+(b – l)²×F].

При b =0 выражение математического ожидания переменной y имеет следующий вид:

Если цензурирование проводится сверху, необходимо только заменить Ф на 1–Ф и переопределить l, как в выражении 10.144.

^* Если распределения являются симметричными, как, например, нормальное и логистическое, то 1– F (a ¢ x)= F (– a ¢ x).

^* При некоторых условиях регулярности последовательность случайных векторов a) сходится по распределению к нормально распределенному случайному вектору с нулевым средним и матрицей ковариаций H ^–1(a). Вследствие этого матрица H ^–1(a) называется асимптотической ковариационной матрицей оценки максимального правдоподобия а.

^* См. Мански (Manski, 1975,1985, 1986) и Мански и Томпсон (Manski and Tompson, 1986)

^[1] Pindyck R., Rubinfeld D. Econometric models and economic forecasts,1997. C. 331–333.

^* В модели (11.4) в общем случае значение независимой переменной x_i не обязательно должно соответствовать моменту t.

^* Попытки разработки прогнозов финансовых показателей на основе простейших типов моделей финансовой эконометрики предпринимались фактически с момента формирования финансовых рынков.

^* Brooklings model: Perspective and Recent Developments/ Ed. G. Fromm, L. R. Klein, Chicago, 1975.

^** Whitman M. Economics throw perspectives// Business economics, 1983, Jan., P. 20-24.