Проблемы оценки дисперсий прогнозов

Вместе с тем оценка дисперсий таких прогнозов представляет собой достаточно сложную проблему, корректное решение которой в аналитическом виде еще не получено. Раскроем суть этой проблемы с учетом результатов, полученных в разделах 12.2 и 12.3. В соответствии с ними, дисперсия прогноза l на точек вперед с использованием модели АРСС(k, m) должна быть определена как математическое ожидание квадрата ошибки прогноза:

где символ D х означает ошибку переменной х. В случае детерминированных величин (дисперсия равна нулю) их ошибка должна быть принята равной нулю.

Так, например, дисперсия прогноза процесса, разрабатываемого на один шаг вперед с помощью модели АРСС(1,1) в этом случае должна определяться на основе следующего выражения:

Дисперсия прогноза на два шага вперед в этом случае будет иметь следующий вид:

В выражениях (12.46) и (12.47) учтено, что ошибка показателей у_T и равна нулю, а также, что математическое ожидание ошибки e_{T +1} равно нулю.

Теоретически, при известных дисперсиях оценок коэффициентов моделей АРСС(k, m), их взаимных ковариаций, а также дисперсий предыдущих прогнозных значений у_T (l – r), r =1,2,... и дисперсий ошибки e с помощью выражения (12.45) оценку дисперсии прогноза s ²(у_{T + l} ) определить не слишком сложно, хотя ее математическое выражение и будет выглядеть достаточно громоздко. Однако следует иметь в виду, что, если с помощью рассмотренных в главе VI методов дисперсии (и ковариации) прогнозов у_{T + l–r} , ошибки e, определить возможно, то дисперсии коэффициентов модели оценить можно лишь приблизительно и то, используя достаточно сложные методы. Это вызвано тем, что оценки моделей АРСС(k, m) определяются либо на основе выборочных значений коэффициентов автокорреляции рассматриваемых процессов (уравнения Юла-Уокера, нелинейные методы оценки коэффициентов скользящего среднего), либо с использованием нелинейных методов оценивания.

В первом случае дисперсии оценок ставятся в зависимость от показателей точности выборочных коэффициентов автокорреляции, которые к тому же сами определяются лишь приблизительно (см. главу VI). Так, например, если для модели АР(1) дисперсию параметра a ₁, равного r ₁, можно (с известной погрешностью) приблизительно считать равной 1/ Т, s ²(a ₁)= s ²(r ₁)=1/ Т, где r ₁ – первый выборочный коэффициент автокорреляции рассматриваемого процесса, то уже для модели АРСС(1,1) этот коэффициент равен a ₁= r ₂/ r ₁ и даже при известных дисперсиях оценок коэффициентов автокорреляции r ₁ и r ₂ показатель s ²(a ₁) оценить достаточно сложно. При этом с увеличением размерности модели АРСС(р, q) проблема оценки дисперсий ее коэффициентов, а тем более их ковариаций значительно осложняется.

Нелинейные методы оценки параметров модели также в явном виде не позволяют определить их показатели точности.