Оценки дисперсий прогнозов при детерминированных параметрах моделей

В этой связи, в научной литературе обычно рассматриваются методы оценки дисперсий прогнозов процессов, представленных в виде временных рядов, не учитывающие ошибки оценок коэффициентов, описывающих их моделей. Таким образом, эти методы учитывают специфику моделей с детерминированными параметрами. Очевидно, что эти методы не в полной мере адекватны условиям поставленной задачи. Однако они характеризуются определенной математической строгостью и при небольших ошибках (дисперсиях) коэффициентов моделей позволяют получить относительно точные оценки дисперсий прогнозов, а следовательно, и их доверительных интервалов.

Эти методы можно рассматривать как следствие более общих результатов теории прогнозирования, Г. Валдом, Н.Винером, А. Колмогоровым, П. Уиттлом. В их основе лежит идея представления прогнозного значения рассматриваемого процесса, описываемого моделями типа АРСС(k, m), в виде условного математического ожидания, зависящего от известных в моменты Т, Т –1,... его значений в прошлом, и ошибки, выражаемой текущим и предшествующими значениями “белого шума”. В целях избежания излишней громоздкости рассмотрим эти методы на примере наиболее простых вариантов моделей временных рядов первого порядка.

Модель АР(1).

В соответствии с выражением (12.34) представим модель АР(1) в виде следующего уравнения:

которое для наших целей более удобно представить в следующем виде:

Из выражения (12.48) вытекает, что прогноз на один шаг вперед, т. е. на момент Т +1, является случайной величиной, определяемой следующим выражением:

Математическое ожидание этого прогноза имеет следующий вид:

Ошибка такого прогноза определяется как

При определении дисперсии прогноза различие между параметром a ₁ и его оценкой a ₁ во внимание не принимается. В результате имеем

Для момента Т +2 прогноз определяется по следующей схеме:

Из выражения (12.53) следует, что математическое ожидание этого прогноза имеет следующий вид:

а ошибка D у_T (2) равна

В свою очередь, с учетом независимости e_{T +2} и e_{T +1} из выражения (12.54) следует, что дисперсия прогноза на момент Т +2 оценивается согласно следующему выражению:

Продолжая схему прогнозирования, определенную выражениями (12.48)-(12.55) несложно видеть, что прогноз на l шагов вперед на основе модели АР(1) представляется в следующем виде:

Его математическое ожидание определяется выражением

а ошибка и ее дисперсия – соответственно выражениями

Из выражений (12.57), в частности, вытекает, что так как ç a ₁ç<1, то c ростом l математическое ожидание прогноза стремится к математическому ожиданию стационарного процесса

а дисперсия прогноза стремится к дисперсии процесса

поскольку из выражения (12.59) следует, что