![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Вторым самым важным понятием математики является функция: функция есть связь, по которой элементам одного множества берётся в соответствие элементы другого множества. Символически функция обозначается как f: X ↦ Y, где X и Y – множества, а f – сама функция. Далее будут рассматриваться лишь однозначные функции, то есть те функции, которые ставят одному элементу первого множества в соответствие один и только один элемент второго множества. В последующих книгах, разумеется, мы рассмотрим и другие виды функций. Понятно, что для однозначного соотношения необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемые множества были эквивалентны, а значит, имели одинаковую меру, и наоборот: если между двумя множествами можно построить однозначную функцию, то они эквивалентны. Следует учесть, что с точки зрения отношений мы будем рассматривать биекции, и запишем в виде отношения эквивалентности R={(x, y) | (x∈X)&(y∈Y)}, где X назовём областью определения, Y – областью значений, а y – функцией от x. В данной форме записи y=f(x), а Y=f(X). К примеру, возьмём множества X={1, 2, 3} и Y={a, b, c}. Функция из X в Y возьмём:
f(1)=a
f(2)=b
f(3)=c
Аналогичным образом расставляется функция g в обратной очерёдности:
g(1)=c
g(2)=b
g(3)=a
Рассмотрим уже знакомые нам примеры: счётные множества. Из их определения вытекает, что мы поставили каждому элементу счётного множества в соответствие некое натуральное число: x1↦1, x2↦2, …, xn↦n,…. Рассмотрим один интересный пример: множество всех натуральных чётных чисел «𝔼». Очевидно, что 𝔼⊂ℕ, но так же между ними можно построить однозначную функцию, ведь чётные числа записываются в виде 2n. Итак, наша функция имеет вид f(n)=2n, а значит, что натуральных чисел столько же, сколько и чётных натуральных чисел, хотя это и противоречит здравому смыслу (постулат Аристотеля: «Часть меньше целого»). Суть данного парадокса в том, что и натуральных, и чётных натуральных чисел бесконечно много, и, следовательно, судить о них с обычной точки зрения не верно.
Запишем определение функции в известном нам виде формулировки:
f: X ↦ Y ≡ (∀x ∈ X ⇒ ∃y ∈ Y | f(x)=y) или в виде отношения эквивалентности
R«=» = {(f(x), y) | (x ∈ X) & (y ∈ Y)}
Рассмотрим понятие обратной функции. Как уже говорилось, функция ставит в соотношение один элемент «x» первого множества с другим элементом «y» другого множества, а значит, можно построить функцию из области значений в область определения, которая будет возвращать значение «x» из значения «y».
Если f(x)=y то g(y)=x. Запишем в известной нам форме: рассмотрим высказывания
(∀x ∈ X ⇒ ∃y ∈ Y | f(x)=y) и (∀y ∈ Y ⇒ ∃x ∈ X | g(y)=x). Очевидно, что второе высказывание есть отрицание первого, так как из (f(x)=y)⇒(g(y)=x) (проверьте из свойства A⇒B ≡ (⅂B)⇒(⅂A)). Обозначим g(x) через f -1(x).
СОДЕРЖАНИЕ
Введение --------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
§1. Элементы алгебры логики ---------------------------------------------------------------------------------- 3
§2. Множества ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8
§3. Действия с множествами ------------------------------------------------------------------------------------ 9
§4. Натуральные числа ------------------------------------------------------------------------------------------- 13
§5. Отношения ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15
§6. Функции --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16
§7.
§8.
§9.
§10.
§11.
§12.
§13.
§14.
Дата публикования: 2014-10-25; Прочитано: 339 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!