Функции. Вторым самым важным понятием математики является функция: функция есть связь, по которой элементам одного множества берётся в соответствие элементы другого

Вторым самым важным понятием математики является функция: функция есть связь, по которой элементам одного множества берётся в соответствие элементы другого множества. Символически функция обозначается как f: X ↦ Y, где X и Y – множества, а f – сама функция. Далее будут рассматриваться лишь однозначные функции, то есть те функции, которые ставят одному элементу первого множества в соответствие один и только один элемент второго множества. В последующих книгах, разумеется, мы рассмотрим и другие виды функций. Понятно, что для однозначного соотношения необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемые множества были эквивалентны, а значит, имели одинаковую меру, и наоборот: если между двумя множествами можно построить однозначную функцию, то они эквивалентны. Следует учесть, что с точки зрения отношений мы будем рассматривать биекции, и запишем в виде отношения эквивалентности R={(x, y) | (x∈X)&(y∈Y)}, где X назовём областью определения, Y – областью значений, а y – функцией от x. В данной форме записи y=f(x), а Y=f(X). К примеру, возьмём множества X={1, 2, 3} и Y={a, b, c}. Функция из X в Y возьмём:

f(1)=a

f(2)=b

f(3)=c

Аналогичным образом расставляется функция g в обратной очерёдности:

g(1)=c

g(2)=b

g(3)=a

Рассмотрим уже знакомые нам примеры: счётные множества. Из их определения вытекает, что мы поставили каждому элементу счётного множества в соответствие некое натуральное число: x₁↦1, x₂↦2, …, x_n↦n,…. Рассмотрим один интересный пример: множество всех натуральных чётных чисел «𝔼». Очевидно, что 𝔼⊂ℕ, но так же между ними можно построить однозначную функцию, ведь чётные числа записываются в виде 2n. Итак, наша функция имеет вид f(n)=2n, а значит, что натуральных чисел столько же, сколько и чётных натуральных чисел, хотя это и противоречит здравому смыслу (постулат Аристотеля: «Часть меньше целого»). Суть данного парадокса в том, что и натуральных, и чётных натуральных чисел бесконечно много, и, следовательно, судить о них с обычной точки зрения не верно.

Запишем определение функции в известном нам виде формулировки:

f: X ↦ Y ≡ (∀x ∈ X ⇒ ∃y ∈ Y | f(x)=y) или в виде отношения эквивалентности

R_«=» = {(f(x), y) | (x ∈ X) & (y ∈ Y)}

Рассмотрим понятие обратной функции. Как уже говорилось, функция ставит в соотношение один элемент «x» первого множества с другим элементом «y» другого множества, а значит, можно построить функцию из области значений в область определения, которая будет возвращать значение «x» из значения «y».

Если f(x)=y то g(y)=x. Запишем в известной нам форме: рассмотрим высказывания

(∀x ∈ X ⇒ ∃y ∈ Y | f(x)=y) и (∀y ∈ Y ⇒ ∃x ∈ X | g(y)=x). Очевидно, что второе высказывание есть отрицание первого, так как из (f(x)=y)⇒(g(y)=x) (проверьте из свойства A⇒B ≡ (⅂B)⇒(⅂A)). Обозначим g(x) через f ^-1(x).

СОДЕРЖАНИЕ

Введение --------------------------------------------------------------------------------------------------- 1

§1. Элементы алгебры логики ---------------------------------------------------------------------------------- 3

§2. Множества ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8

§3. Действия с множествами ------------------------------------------------------------------------------------ 9

§4. Натуральные числа ------------------------------------------------------------------------------------------- 13

§5. Отношения ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15

§6. Функции --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16

§7.

§8.

§9.

§10.

§11.

§12.

§13.

§14.