Отношения. Введём интуитивное понятие отношения: Если между элементами множеств A и B можно задать некую связь

Введём интуитивное понятие отношения: Если между элементами множеств A и B можно задать некую связь, то говорят, что множество A относится к множеству B, а их элементы относятся между собой.

К примеру, если у нас есть n конфет и нужно раздать их m детям. Рассмотрим 3 случая: n<m, n>m и n=m. В первом случае метод раздачи таков, что некоторые дети останутся без конфет, во втором у некоторых детей будет больше одной конфеты и в третьем случае каждый ребёнок получит по одной конфете. Как видно мы сопоставили множество конфет множеству детей, что значит – мы дали некое отношение между этими двумя множествами. В первом случаи отношение называется инъекцией, во втором сюръекцией и в третьем случае – биекцией. В разных задачах нам будет встречаться разные виды отношений, к примеру 1) если отношение A в B инъекция, то отношение B в A сюръекция 2) Если отношение A в B инъекция, то существует некое B’⊂B, что A в B’ - инъекция 3) Если отношение A в B сюръекция, то существует такое A’⊂A, что A’ в B - биекция.

Рассмотрим форму записи. Рассмотрим случай множеств A={a, b} и B={d, e, f}. Рассмотрим их декартово произведение A⨉B.

A⨉B=R, где R = {(x, y) | (x∈A)&(x∈B)}. Как видно, благодаря упорядоченной паре (x, y) мы задали отношение между любым x из A и любым y из B, а значит дали отношение между множествами A и B. Такое отношение записывается xRy, то есть xRy существует, если (x, y)∈R. В записи xRy R может быть уже известным нам отношением, к примеру равенство, сумма, сравнение: «=», «+», «<», «>» и т.д.. К примеру если R = «+», то xRy есть множество сумм всех чисел x из A и y из B. В нашем примере R={(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f)}, а так как R отношение суммы, то R={а + d, a + e, a + f, b + d, b + e, b + f}.

Рассмотрим отношение множества на самом себе. Очевидно, что данное отношение - биекция. Рассмотрим виды такого отношения. Самое примитивное отношение - это равенство. Рассматриваем множество R={(x, y) | x, y∈A}. Возьмём множество R’={(x, x) | x∈A}, ясно, что R’⊂R, и R’ - отношение эквивалентности «=». Вторым немаловажным видом отношений является упорядоченность, то есть отношение «>» или «<». Очевидно, что множество R_> и R_< являются подмножествами множества R, так как исключают возможность (x, x). Множество A, где задано отношение R_> или R_< называется строго упорядоченным, а если упорядоченно его подмножество A’, то множество A называется частично упорядоченной. K примеру, ℕ строго упорядоченное множество. В курсе алгебры и теории чисел мы более подробно рассмотрим теорию отношений, так как она является одной из самых важных понятий математики: на ней основаны понятия целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.