Комбинации действий с множествами

Говоря комбинация действий с множествами, мы определяем множество, образованное из множеств, к которыми поочерёдно применены вышесказанные действия. К примеру рассмотрим симметричную разность двух множеств:

A⨁B=(A/B)∪(B/A)

Докажем, что (A/B)∪(B/A) = (A∪B)/(A∩B). Рассмотрим форму записи A={a | a∈A} и B={b | b∈B}, для укорочения записи обозначим условие a∈A и b∈B через A(a) и B(b).

A/B={x | A(x)&(⅂B(x))}=C

B/A={x | B(x)&(⅂(A(x))}=D

C∪D={x | C(x)∨D(x)}={x | (A(x)&(⅂B(x)))∨(B(x)&(⅂A(x)))}

Рассмотрим высказывание

(A(x)&(⅂B(x)))∨(B(x)&(⅂A(x))), обозначим ⅂A и ⅂B через A’ и B’

(A&B’)∨(B&A’). Теперь рассмотрим (A∪B)/(A∩B)

A∪B={x | A(x)∨B(x)}=C’

A∩B={x | A(x)&B(x)}=D’

C’/D’={x | C’(x)&(⅂D’(x))}={x | (A(x)∨B(x))&(⅂(A(x)&B(x)))}

Рассмотрим высказывание

(A∨B)&(⅂(A&B))=(A∨B)&((⅂A)∨(⅂B))=(A∨B)&(A’∨B’)

Осталось доказать, что (A&B’)∨(A’&B)≡(A∨B)&(A’∨B’)

Обозначим (A∨B) через C

C&(A’∨B’)=(C&A’)∨(C&B’)

C&A’=(A∨B)&A’=(A’&A)∨(A’&B). Так как A’&A тавтология, то

(A’&A)∨(A’&B)≡(A’&B), аналогично C&B’=(A&B’), что и требовалось доказать.

Для наглядного представления теории множеств используются круги Эйлера-Венна:

На рисунке изображены объединение, пересечение и разность множеств.