Натуральные числа

Самые распространенные в математике множества - численные, то есть их элементы - числа. Рассмотрим множество натуральных чисел. Натуральные числа определяются интуитивно как числа, данные природой. К натуральным числам относятся такие числа, которыми можно посчитать действительные предметы. Множество натуральных чисел обозначается как «ℕ». Определим аксиоматику Пeано для натуральных чисел:

1. 1 ∈ ℕ

2. ∀a ∈ ℕ ⇒ a⁺ ∈ ℕ

3. ∄a ∈ ℕ | a⁺=1

4. ∀a, b ∈ ℕ (a=b) ⇒ (a⁺=b⁺)

5. ∀A ⊂ ℕ, 1∈A, (∀a ∈ A ⇒ a⁺ ∈ A) ⇒ A=ℕ

Поясним значение аксиом:

1. 1 есть натуральное число

2. Для любого натурального a его последующее a⁺ так же натурально

3. Нет такого натурального числа, после которого идёт число 1

4. Из равенства любых двух натуральных a и b следует равенство их последующих

5. (Полная индукции) Если множество A, будучи подмножеством ℕ, содержит в себе 1, и с каждым своим элементом «a» содержит его последующий «a⁺», то множество A совпадает с множеством ℕ.

В натуральных числах a⁺ определяется как a+1.

Очевидно, что натуральных чисел бесконечно много.

Рассмотрим новый способ определения множества:

А={a_k | k=1, 2, …, n} = {a₁, a₂, …, a_n}. Такой способ определения элементов называется нумерация, а множество A называется конечным. В случае, когда A={a_n | n∈ℕ} множество A называется счётным.

Определим меру множеств: Мера множества есть некая количественная характеристика данного множества. В классическом определении мера множества называется его порядковым или ординальным числом. В случае конечных множеств мера определяется количеством элементов данного множества, к примеру, для A={a, b, c, d} его мера определяется μ(A)=4. Так как ℕ бесконечно, то такой подход к определению меры теряет смысл: μ(ℕ)=∞. Для натуральных чисел мера определяется через «ℵ₀» (читается «алеф ноль»). Аналогично такой мерой определяются все счётные множества. Мера пустого множества определяется как 0.

Рассмотрим изменение меры множеств от действий с ними:

μ(A∪B) = μ(A) + μ(B) - μ(A∩B)

μ(A∩B) = μ(A) + μ(B) - μ(A∪B)

μ(A/B) = μ(A) - μ(A∩B)

μ(A⨉B) = μ(A) * μ(B)