Изучение формы распределения

Форму распределения изучают с помощью показателей асимметрии и эксцесса. При исчислении указанных показателей используют моменты распределения, предложенные русским математиком П. Л. Чебышевым. Моментом k -го порядка называют среднюю из k -х степеней отклонений вариантов значений признака от некоторой постоянной величины. Порядок момента определяется величиной k. При анализе вариационных рядов ограничиваются расчетом моментов первых четырех порядков. При исчислении моментов в качестве весов могут быть использованы частоты или частости. В зависимости от выбора постоянной величины различают начальные, условные и центральные моменты.

Показатель асимметрии характеризует асимметричность («скошенность») распределения признака в совокупности. Существует несколько различных формул для показателя асимметрии: коэффициенты асимметрии Пирсона, коэффициенты асимметрии Линдберга, коэффициент асимметрии на основе центрального момента третьего порядка.

Формулы расчета коэффициента асимметрии, использующие значения моды и медианы (коэффициенты асимметрии Пирсона), дают приближенный результат:

, .

Наиболее точно коэффициент асимметрии рассчитывается с помощью формулы

,

где — центральный момент третьего порядка:

.

При симметричном распределении варианты, равноудаленные от , имеют одинаковую частоту, поэтому , следовательно, и As = 0. Если As < 0, то в вариационном ряду преобладают варианты, которые меньше, чем средняя, т.е. ряд отрицательно асимметричен (с левосторонней «скошенностью» — более длинная левая ветвь графика распределения). Положительная асимметрия (правосторонняя «скошенность» — более длинная правая ветвь графика распределения) характеризуется значением As > 0. Если As = 0, вариационный ряд симметричен. Чем больше величина As, тем более асимметрично распределение.

Если асимметрия более 0,5, то независимо от знака она считается значительной; асимметрия меньше 0,25 считается незначительной. Кроме того, характер асимметрии указывает на направление развития. При исследовании вариации признаков, в отношении которых имеется заинтересованность в их увеличении (выполнение норм, выпуск продукции и т.д.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о прогрессивности развития — о том, что оно идет в сторону увеличения показателя, а левосторонняя асимметрия, следовательно, указывает на регрессивное развитие. При исследовании вариации признаков, в отношении которых имеется заинтересованность в их уменьшении (себестоимость, трудоемкость, расход сырья на единицу продукции и т.п.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о недостатках в развитии изучаемого процесса, левосторонняя — о прогрессивности его развития, о том, что последнее идет в сторону уменьшения показателя.

Для оценки существенности асимметрии вычисляют показатель средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии

,

где n — число наблюдений.

Если отношение модуля показателя асимметрии к средней квадратической ошибке коэффициента асимметрии имеет значение больше 2, то это свидетельствует о существенном характере асимметрии и несимметричном распределении признака в генеральной совокупности. В противном случае асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

Показатель эксцесса распределения рассчитывается с помощью центрального момента четвертого порядка. Эксцесс распределения для нормального распределения , поэтому для оценки «крутизны» распределения в сравнении с нормальным распределением вычисляется показатель эксцесса распределения.

,

где — центральный момент четвертого порядка:

,

Если Ex = 0, то распределение считается нормальным, при Ex > 0 — высоковершинное (или островершинное) распределение, при Ex < 0 — низковершинное (или плосковершинное) распределение.

Для оценки существенности эксцесса вычисляют показатель его средней квадратической ошибки:

,

где n — число наблюдений.

Если отношение модуля показателя эксцесса к средней квадратической ошибке коэффициента эксцесса имеет значение больше 3, то это свидетельствует о существенности эксцесса.

Для определения асимметрии и эксцесса иногда используются упрощенные формулы, предложенные Линдбергом:

,

,

где — удельный вес (в процентах) количества тех значений признака, которые превосходят среднюю арифметическую, в общем количестве значений признака данного ряда; — доля (в процентах) количества значений признака, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения.

Определение показателей асимметрии и эксцесса имеет не только описательное значение, часто их величины дают определенные указания для дальнейшего исследования изучаемых явлений. Так, например, появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности. Кроме того, эти показатели позволяют сделать вывод о возможности применения изучаемого эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения.