Нормальное распределение. Распределение[xx] непрерывной случайной величины x называют нормальным N(x, s), если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой

Распределение[xx] непрерывной случайной величины x называют нормальным N (x, s), если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой . Нормальное распределение признака наблюдается в тех случаях, когда на величину вариантов, входящих в состав вариационного ряда, действует множество случайных, независимых или слабо зависимых факторов, каждый из которых играет в общей сумме незначительную роль. Нарушение нормального характера распределения часто является свидетельством неоднородности совокупности.

Кривая нормального распределения представляет собой одновершинную симметричную колоколообразную фигуру, правая и левая ветви которой равномерно и симметрично убывают, асимптотически приближаясь к оси абсцисс (рис. 5.1). Отличительной особенностью этой кривой является совпадение в ней средней арифметической, моды и медианы. Если всю площадь между кривой нормального распределения и осью абсцисс принять за 100%, то в пределах одной σ заключено 68,3% частот, в пределах двух σ — 95,4%, в пределах трех σ — 99,7% («правило трех сигм»).

Рис. 5.1. Кривая нормального распределения

Нормальное распределение имеет следующие свойства.

1. Значения признака имеют тенденцию концентрироваться около точки t = 0, где является нормированным отклонением.

2. Нормальная кривая симметрична относительно вертикальной оси.

3. Значения наблюдений не ограничены по своей величине.

4. , Мо, Ме имеют одно и то же значение при t = 0.

5. Изменение величины t характеризует различные типы распределения.

Случайные величины, распределенные по нормальному закону, различаются значениями параметров и σ. Чем меньше величина σ, тем более вытянута вверх кривая распределения, данное вытягивание вверх компенсируется сжатием около центра распределения и более быстрым приближением кривой к оси абсцисс. Чем больше величина σ, тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая распределения. Если величина σ остается неизменной, а изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты.

Теоретические частоты при нормальном законе распределения случайной величины определяют следующим образом: сначала по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение, находят нормированное отклонение каждого варианта от средней арифметической. Затем по таблице значений функции нормального распределения определяют ее значения и вычисляют теоретические частоты.

Теоретические частоты при нормальном законе распределения случайной величины определяют по формуле

,

где N — объем совокупности; h_k — длина интервала; t — нормированные отклонения каждого варианта от средней арифметической;j ( t) — функция нормирования отклонения, ее значения определяют по таблице распределения функции (табл. П3.5).

Нормальное, или симметричное, распределение соответствует природе ряда явлений, однако для отдельных общественных явлений оно нехарактерно, так как в нем отражаются различия, вызванные внешними воздействиями, присущие колеблющейся совокупности единиц. При этом для большинства социальных явлений характерна асимметричность рядов и кривых распределения. Именно наличие асимметрии, или «скошенности», в рядах однородных совокупностей служит косвенным указанием на то, что исследуемый процесс проходит активную стадию развития.