Виды дисперсий, правило сложения дисперсий

В совокупности, разделенной на части по какому-либо признаку, вариация этого признака складывается из вариаций межгрупповой и внутригрупповой. В этой связи в изучаемой совокупности выделяют дисперсии общую, межгрупповую и внутригрупповые. Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий (факторов), действующих в данной совокупности:

,

где — значение признака; — общая средняя для всей изучаемой совокупности; — число единиц совокупности в отдельной группе.

Межгрупповая (факторная) дисперсия показывает вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, и исчисляется по отклонениям групповых средних от общей средней:

,

где — среднее значение признака в отдельной группе; — общая средняя для всей изучаемой совокупности; — число единиц совокупности в отдельной группе.

Средняя из внутригрупповых дисперсий показывает вариацию за счет остальных факторов (всех факторов, за исключением признака-фактора, положенного в основу группировки) и не зависит от условия, положенного в основу группировки:

,

где — внутригрупповая дисперсия в отдельной группе

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия представляет собой сумму межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:

.

Таким образом, используя правило сложения дисперсий, зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета дисперсии третьего вида. Правило сложения дисперсий широко применяется при исчислении показателей тесноты связей, в дисперсионном анализе, при оценке точности типической выборки и в ряде других случаев.