Распределение Пуассона. Распределение вероятностей дискретной величины может выражаться схемой случаев Бернулли, которая рассчитывается как сумма вероятностей наступления

Распределение вероятностей дискретной величины может выражаться схемой случаев Бернулли, которая рассчитывается как сумма вероятностей наступления исследуемого события и называется биноминальным распределением. На практике данный вид распределения используется, например, в аудиторском деле, когда при проверке строят распределение счетов по доле ошибок.

Предельный случай биноминального распределения для дискретной величины, когда за определенный интервал времени проводится много независимых друг от друга наблюдений и вероятность событий в каждом из них достаточно невелика, называется распределением Пуассона. Данный вид распределения рассматривает потоки событий, последовательность которых может лежать не только на числовой оси, но и на плоскости и в пространстве. Известно, например, что распределение Пуассона используется в страховых компаниях для актуарных расчетов.

Распределение Пуассона называют распределением редких явлений, оно наблюдается в совокупностях, число единиц которых достаточно велико (N ≥ 100), а доля единиц, обладающих большими значениями признака, мала. Распределение Пуассона также относится к числу важнейших теоретических распределений, имеющих практическое применение. Примерами переменных, распределенных по закону Пуассона, могут служить число дефектов в производственном процессе, число отказов технологического оборудования и т.д.

Классическую форму распределение Пуассона принимает в том случае, если значения признака носят дискретный характер, где по мере увеличения значений признаков частоты резко уменьшаются и x _ср » s². Распределение Пуассона определяется формулой для его плотности

,

где a — средняя арифметическая ряда ().

На рис.5.3 графически представлена плотность распределения Пуассона.

Рис. 5.3. Кривая распределения Пуассона

Теоретические частоты для распределения Пуассона рассчитывают по формуле

,

где N — число единиц в изучаемой совокупности; a — средняя арифметическая ряда.

Теоретические частоты для распределения Пуассона определяют в следующем порядке: сначала по эмпирическим данным определяют среднюю арифметическую ряда, затем по таблицам определяют значения е ^{– а} и вычисляют теоретические частоты для каждого значения признака. Полученные теоретические значения округляют до целых чисел.

Поскольку областью определения распределения Пуассона является множество целых неотрицательных чисел, то если случайная величина принимает дробные или отрицательные значения, ее распределение заведомо нельзя выравнивать распределением Пуассона. Характерным признаком применимости распределения Пуассона в качестве модели случайной величины с заданным эмпирическим распределением является отсутствие существенного различия между эмпирическими значениями средней и дисперсии.