Основы дисперсионного анализа

Различия между значениями отдельных элементов статистической совокупности складываются под влиянием множества отдельных факторов. Степень влияния факторов на изменение величины признака неодинакова. Одни факторы в большей степени, а другие — в меньшей степени оказывают влияние на вариацию признака. Поэтому различают вариации систематическую и случайную. Задача дисперсионного анализа заключается в исследовании влияния тех или иных фак­торов на изменчивость средних значений изучаемого признака. С этой целью производится разложение дисперсии наблюдаемой совокупности на состав­ляющие, порождаемые независимыми факторами. Общая дисперсия раскладывается на факторную (межгрупповую) дисперсию, связанную с группировочным признаком, и остаточную (внутригрупповую) дисперсию, не связанную с группировочным признаком. Факторная дисперсия объясняет вариацию результативного признака под влиянием изучаемого фактора; остаточная дисперсия — вариацию результативного признака, обусловленную влиянием прочих факторов (за исключением влияния изучаемого фактора). Сущность дисперсионного анализа заключается в сопоставлении межгрупповой и внутригрупповой дисперсий и формировании на основе этого соотно­шения суждения о влиянии и роли изучаемого фактора.

В дисперсионном анализе дисперсией называют сумму квадратов от­клонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической. Сначала определяют общую дисперсию, обусловленную влиянием вариации всех признаков, затем факторную и остаточную дисперсии.

Определение общей дисперсии обусловленной влиянием на вариацию у всех признаков, производится по формуле[xviii]

,

где у_i — отдельные значения результативного признака; у _о6щ — общая средняя.

Факторная дисперсия представляет собой сумму квадратов отклонений ча­стных (групповых) средних от общей средней, умноженных на число единиц в каждой группе:

,

где — групповые средние значения результативного признака; — общая средняя; — число единиц в каждой группе.

Остаточная дисперсия (случайная) есть сумма групповых сумм квадратов от­клонений всех вариант результативного признака в группах от средних значений признака в них.

.

Далее производится оценка достоверности влияния факторного признака на ре­зультативный. Для этого определяется число степеней свободы вариации V. Различают степени свободы факторной и остаточной дисперсий. Число степеней свободы для факторной дисперсии равно количеству групп минус единица. Эта величина показы­вает, что в такой выборочной совокупности (любая выборка имеет ограниченный объем) каждая варианта свободна принимать любые значения, кроме одного, оп­ределяемого разностью между суммой всех остальных вариант и объемом выбор­ки, т.е. одна варианта не имеет степени свободы вариации. Если выборочная совокупность достаточно велика, то разница между N и N – 1 несущественна, поэтому не оказывает влияния на результат расчетов. Число степеней свободы для остаточной дисперсии равно разности между количеством индивидуальных значений признака и числом групп.

Затем рассчитываются дисперсии на одну степень свободы вариации (такая дисперсия соответствует среднему квадратическому отклонению признака в сово­купности и может быть обозначена как σ²). В этом случае дисперсии выступают как показатели, позволяющие сравнивать группы с разной численностью. Далее осуществляется проверка правильности расчетов числа степеней свободы вариации.

Отношение факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы, позволяет определить критерий Фишера (F-критерий):

,

где — факторная дисперсия[xix] на одну степень свободы; — остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Р. Фишером было установлено распределение отношений дисперсий, а также разработаны специальные таблицы теоретических значений F-критерия при двух вероятностях: 0,05 и 0,01. Находят теоретическое значение F-критерия по таблицам для принятого в исследовании уровня значимости с учетом числа степеней свободы для факторной и остаточной дисперсий. При этом 5%-ному уровню значимости соответствует 95%-ный уровень вероятности, 1%-ному — 99%-ный уровень вероятности. В большинстве случаев избирают 5%-ный уровень значимости. Теоретическое значение F-критерия при заданном уровне значимости по таблицам определяют на пересечении строки и столбца, соответствующих двум степеням свободы дисперсий: по строке — остаточной, по столбцу — факторной.

Расчетное значение F-критерия сравнивают с табличным: если F_расч > F_табл, то статистическое наблюдение доказывает с вероятностью, большей заданной, влияние фактора на результативный признак; если F_расч = F_табл, то статистическое наблюдение доказывает с заданной вероятностью влияние фактора на результативный признак; если F_расч < F_табл, влияние фактора на результативный признак не доказано, но не доказано и отсутствие влияния фактора. Статистическое наблюдение необходимо повторить, уравнивая группы по факторам, за исключением изучаемого фактора, или увеличить количество единиц изучаемой совокупности; если F_расч F_табл (т.е. F_расч много меньше F_табл), то рассчитывают как отношение остаточной дисперсии на одну степень свободы к факторной дисперсии на одну степень свободы:

.

Теоретическое значение F-критерия в данном случае определяют при заданном уровне значимости по таблицам на пересечении строки и столбца, соответствующих двум степеням свободы дисперсий: по строке — факторной, по столбцу — остаточной. Если , то статистическое наблюдение достоверно доказывает отсутствие влияния фактора на результативный признак.