Вычисление двойных интегралов

Пример 21. Вычислить двойной интеграл двумя способами, изменяя порядок интегрирования: , где D — область, ограниченная линиями , , (см. М-1540, стр.52–55).

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4)

рис. 4

Выбирая внутреннее интегрирование по переменной , а внешнее по , получим:

.

Здесь внешний интеграл берется по переменной . Граничными точками этой переменной будут точки и , которые и определяют внешние пределы интегрирования. Внутренний интеграл берется по переменной . Пределы интегрирования для него будут являться функциями от , которые определяются из уравнений линий, ограничивающих область D снизу () и сверху (). Следовательно,

Изменяя порядок интегрирования, разобьем область D на две части: пусть D ₁ — часть, лежащая ниже оси , а D ₂ — часть, лежащая выше оси . Тогда

.

Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.

.