Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Тема 4. Функции двух переменных



Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой области , являющейся частью плоскости Частной производной от функции по независимой переменной х называется производная

вычисленная при постоянном у.

Частной производной по у называется производная

вычисленная при постоянном х.

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

При изменении и частные производные сами являются функциями, и можно вычислять частные производные от этих функций. Частные производные второго порядка обозначают следующим образом:

Последнюю из трех частных производных второго порядка называют смешанной производной. Если частные производные второго порядка непрерывны в точке , тогда , то есть не важно, в какой последовательности вычисляется смешанная производная.

Градиентом функции в точке называется вектор, составленный из частных производных:

Этот вектор указывает в точке М0 направление наискорейшего роста функции .

Для функции двух переменных вводится понятие производной по направлению, аналогичное понятию частной производной, когда приращение аргумента задается вдоль данного направления. Для любого направления, задаваемого вектором , производная функции в точке по направлению этого вектора может быть выражена следующим образом:

где знак модуля означает длину вектора градиента в точке , а ─ угол между градиентом и направлением .

Пример. Найти градиент функции в точке .

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной х.

.

Аналогично, рассматривая х как постоянную величину, получаем:

.

Находим значения частных производных в точке :

,

Таким образом,





Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 491 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...