![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим квадратную матрицу
A = .
Обозначим D =det A.
Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если D = 0.
Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1. Обратная матрица вычисляется по формуле
А-1 = 1/D , (1)
где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j.
Вычисление обратной матрицы по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы
Пример 11 а)Дана матрица А = . Найти матрицу А-1 обратную данной, воспользовавшись определением обратной матрицы. б) Найти обратную матрицу для матрицы А=
по методу Гаусса.
Решение.
а) Находим сначала детерминант матрицы А
D = det А = = 27 ¹ 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: А-1 = 1/D
, где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов аi j исходной матрицы. Имеем:
откуда А-1 = .
б) Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:
~
. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2:
. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй;
. Прибавим третий столбец к первому и второму:
. Умножим последний столбец на -1:
. Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,А-1 =
.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 454 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!