Примеры распределений непрерывной случайной величины

1. Равномерное распределение. Случайная величина x непрерывного типа называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке:

f(x) = (9)

Вычислим математическое ожидание и дисперсию: ,

=

Рассмотренное в Примере 13 распределение является равномерным при a = 0

и b = 1.

2. Показательное (экспоненциальное) распределение:

Случайная величина x называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром >0, если она непрерывного типа

и ее плотность распределения задается формулой

f(x) = (10)

График функции приведен на Рис.11.

Рис. 11.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

M (x) = , D (x)=

3. Закон нормального распределения.

Случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами а и >0, если плотность распределения вероятностей имеет вид

f(x) = , (11)

Для того, чтобы построить график этой функции, проведем ее исследование. Вычислим производную

.

При x < a > 0, следовательно на интервале функция возрастает, а при x > a < 0, - функция убывает. В точке x = a – функция имеет максимум.

График функции приведен на Рис.12.

Важное значение в прикладных задачах имеет частный случай плотности нормального распределения при a = 0 и =1

. (12) Функция (12) - четная, т.е. (-x) = (x).

Для значений этой функции имеются таблицы (Приложение 1).

Рис. 12

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

;;.

При вычислении интегралов использованы свойства:

1) = 0, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах;

2) =1, как интеграл от плотности нормального распределения с параметрами a = 0 и = 1 (свойство 2 функции плотности распределения).

Аналогично можно показать, что D (x) = ². Параметры a и совпадают с основными характеристиками распределения. В дальнейшем, если плотность распределения случайной величины имеет вид (11),то для краткости будем записывать x ~ N ().

Вероятность попадания случайной величины x в интервал вычисляется по формуле (13)

, (13)

где - функция Лапласа

, ( 14)

функция нормального распределения N(0,1),

д ля этой функции имеются таблицы (Приложение 2). Отметим, что

Ф(-x) = 1 - Ф(x) (15)

Пример 14. Коробки с шоколадом упаковывают автоматически.Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Какой процент коробок, масса которых превышает 940 г. (вес коробок распределен нормально)?

Из условия задачи параметр а= 1,06, параметр -неизвестен.

Рассмотрим случайную величину x - масса коробок. Требуется определить

p (x > 0,94), т.е. p (x > 0,94) = p (0,94 < x < + ∞)

Из таблицы Приложения 2 определим , по формуле (14) имеем

= 1- , тогда

p (0,94 < x < + ∞) 1-1+ = .

Параметр σ найдем из условия р (x < 1) = 0,5

т.е. 1- откуда получим ) = 0,95.

По таблице Приложения 3 определим = 1,645, тогда из равенства

найдем значение . Окончательно получим

.

4. Распределение Парето

Распределение Парето используется при изучении распределения доходов, превышающих некоторый пороговый уровень x₀.

f(x) = x₀ < x < ∞, α > 0, х₀ > 0 – параметры распределения.,

M(ξ)= , D(ξ)= .