Примеры дискретных распределений

1. Биноминальное. Пусть произведено n независимых испытаний. В каждом испытании наступает либо событие А, либо соответственно с вероятностями р, 1 –р. Рассмотрим случайную величину x - число появлений события А в последовательности испытаний.

Закон распределения этой случайной величины можно записать следующим образом

Р (x = m) = , m=0,1,2,…n. (4)

Действительно, рассмотрим выражение (p + q)ⁿ =1 , разложим двучлен (p + q)ⁿ по формуле бинома Ньютона. Получим

т.е. сумма вероятностей значений случайной величины равна единице, следовательно (4) является законом распределения.

Найдем математическое ожидание:

M (x) = ,

Рассмотрим случайные величины x₁, x₂, … x_n, с одинаковым законом распределения:

x_k =

где k = 1,2,…n. Тогда

x = x₁ + x₂ + … + x_n.

Используя свойства математического ожидания получим:

М (x) = М (x₁ + x₂ + … + x_n) = М (x₁) + М (x₂) +…+ М (x_n).

Найдем математическое ожидание x_k, М (x_k) = 0 · (1 – p) + 1· p = р, тогда

М (x) = np

Аналогично найдем дисперсию:

D (x) = D (x₁ + x₂ + … + x_n) = D (x₁) + D (x₂) +…+ D (x_n)

D (x_k) = (0 – p)² (1 – p) + (1 – p)² p = p² (1 – p) + (1 – p)² p =

= p (1 – p) (p + 1 – p) = p (1 – p) = p q

D (x) = n p q,

2. Распределение Пуассона.

Пусть произведено бесконечное число испытаний. Рассмотрим случайную величину x -число появлений события А.

m = 0, 1, 2,...

Закон распределения в данном случае имеет вид:

p (x =m) = , λ > 0 - параметр распределения, m = 0, 1, 2,... (5)

Покажем, что сумма вероятностей равна единице.

.

Аналогично можно показать, что математическое ожидание и дисперсия соответственно равны ,

М (x) = , D (x) = .

Закон Пуассона называют законом редких событий.