Лекция 6. Наивероятнейшее число появлений события

Наивероятнейшим числом появления события А в n независимых испытаниях называется такое число m , для которого вероятность, соответствующая этому числу, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события А. Обозначим вероятность, соответствующую числу m , через Р(n, m ), тогда согласно определению

Р(n, m ) Р(n, m).

Для нахождения m рассмотрим два неравенства

Решая совместно эти неравенства относительно m , получим, что m лежит винтервале единичной длины

np – q m np + p.

Пример 10. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.

В данной задаче n = 10, p = 0,4, q = 1-p = 1 – 0,4 = 0,6. Подставим эти данные

в приведенное выше неравенство

10 m 10 ,

3,4 m 4,4,

и окончательно, m = 4. Наивероятнейшее число заявок равно 4.

Найдем теперь вероятность получения четырех заявок по формуле Бернулли

Р(10,4) = = 0,25.

Статистическая оценка вероятности.

Длительные наблюдения над появлением или не появлением события А при большом числе независимых испытаний в ряде случаев показывают, что число

появлений события А подчиняется устойчивым закономерностям. Обозначим

- число появлений события А,

n - число испытаний,

- частота появления события А при достаточно большом n сохраняет постоянную величину. Таким образом, под статистической вероятностью понимается относительная частота появления события А в n произведенных опытах.

Статистическая вероятность обладает теми же свойствами, что и классическая вероятность, но при этом не требуется равновозможности исходов.

Наиболее общим является аксиоматическое определение вероятности, которое

сформулировал советский математик Колмогоров А.Н. в 1933 г..Однако это рассмотрение этого определения выходит за рамки данного курса лекций.