Лекция 5. Формула полной вероятности

Пример 6. Пусть в одном из трех ящиков находится 3 белых и 2 черных шара, во втором – 2 белых и 3 черных, в третьем – только белые шары. Из наугад

выбранного ящика извлекают один шар. Найти вероятность того, что он белого цвета.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный шар белого цвета. Вероятность этого события зависит от того, из какого ящика выбран шар.

Рассмотрим события:

H - шар взят из первого ящика,

H - шар взят из второго ящика,

H - шар взят из третьего ящика.

События H , H , H - несовместны, тогда событие А можно представить в виде суммы произведений

А= H А + H А + H А

Применяя формулы сложения и умножения получим,

Р(А) = Р(H А + H А + H А) = Р(H А) + Р(H А) + (H А) =

Р(H )Р(А/ H ) + Р(H )Р(А/ H ) + Р(H )Р(А/ H ) =

Это и есть формула полной вероятности. Запишем ее в общем виде.

Пусть событие А может произойти только совместо с одним из событий

H , H , …, H , образующих полную группу несовместных событий (гипотез).

Вероятность Р(А) определяется формулой полной вероятности

Р(А) = Р(H )P(A/ H ),

где Р(H ) = 1.

Пример 7. На двух автоматических станках изготовляются одинаковые валики. Вероятность изготовления валика высшего сорта на первом станке равна 0,95, а на втором - 0,80. Изготовленные на обоих станках нерассортированные валики находятся на складе, среди них валиков, изготовленных на первом станке, в три раза больше, чем на втором. Определить вероятность того, что наудачу взятый валик окажется высшего сорта.

Обозначим А - событие, состоящее в том, что взятый наудачу валик окажется

высшего сорта;

В - событие, состоящее в том, что взятый наудачу валик

произведен на первом станке;

В - событие, состоящее в том, что валик произведен на втором

станке.

Применив формулу полной вероятности получим:

Р(А) = Р(В )Р(А/ В ) + Р(В )Р(А/ В ).

Поскольку валиков, произведенных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором, то Р(В ) = , Р(В ) = .

В задаче даны условные вероятности:

Р(А/ В ) = 0,92, Р(А/ В ) = 0,80.

Искомая вероятность

Р(А) = = 0,89.

Формулы Байеса.

В условиях Примера 6, выбранный из ящика шар, оказался белого цвета. Найти вероятность того, что шар был взят из третьего ящика.

Эта задача отличается тем, что известно событие, наступившее в результате эксперимента: А – извлечен шар белого цвета. Требуется найти вероятность гипотезы при условии, что наступило событие А, т.е. Р(Н /А).

Рассмотрим вероятность Р(А Н ), по формуле умножения

Р(А Н ) = Р(А)Р(Н /А) = Р(Н )Р(А/ Н ).

Из последнего равенства выразим искомую вероятность

Р(Н /А) = ,

где Р(А) – полная вероятность события А.

Полученное равенство и есть формула Байеса для Н . Аналогично можно получить формулы для гипотез H и H .

Используя результаты Примера 6, получим

Р(Н /А) = = .

Запишем формулы Байеса в общем виде:

Р(, Р(А) – полная вероятность события А,

Р(H ) = 1, k = .

Пример 8. В условиях Примера 7, взятый наугад валик оказался высшего сорта.

Определить вероятность того, что он произведен на первом станке.

Используя обозначения Примера 7, по формуле Баейса получим:

Р(В /А) = = = 0,76.