Условные вероятности. Независимость событий

В ряде случав приходится рассматривать вероятности событий при условии, что имело место некоторое другое событие. Такие вероятности называются условными и обозначаются Р(А / В).

Пример. Брошены две игральные кости.Чему равна вероятность того,что сумма выпавших очков равна 8, если известно, что эта сумма является четным числом?

Пусть А – сумма выпавших очков равна 8,

В – сумма выпавших очков четное число.

Найдем сначала безусловную вероятность Р(А) по классическому определению. Число всех возможных исходов эксперимента n =6 6=36, а сумма очков, равная 8, выпадет в следующих комбинациях:

(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2).

Таким образом m =5 и Р(А) = .

Теперь вычислим вероятность события А при условии, что наступило событие В. В этом случае возможные исходы эксперимента составляют комбинации, при которых сумма выпавших очков- четное число, таких комбинаций – 18, поэтому m = 5, n = 18, а условная вероятность Р(А / В) = .

Два события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого, иными словами, если условная вероятность равна безусловной, Р(А / В) = Р(А). В противном случае события считают зависимыми. Так, в приведенном выше примере, события А и В являются зависимыми.

События А ,А , …, А называются независимыми в совокупности, если для любого А из их числа и любого подмножества данной совокупности, событие А и произведение событий из подмножества взаимно независимы.

Рассмотрим пример. Тетраэдр,три грани которого окрашены соответственно в красный, зеленый и синий цвета, а четвертая грань содержит все три цвета, бросается наудачу на плоскость. События А, В, С состоят в том, что тетраэдр упал на грань, содержащую соответственно красный, зеленый либо синий цвет.

Безусловные вероятности Р(А) = Р(В) = Р(С) = ,

условные вероятности Р(А/В) = Р(А/С) = Р(В/С) = Р(С/А) = Р(В/А) = .

Следовательно попарно события - независимы, однако Р(А/ВС) = 1, а это свидетельствует о том,что в совокупности события - зависимы.

Рассмотрим формулы, которые используються для вычисления вероятностей сложных событий. Сложным событием называется наблюдаемое событие,

выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимих алгебраических операций.

Формула сложения. Для произвольных событий А и В справедливо соотношение

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Для произвольного конечного числа событий формулы сложения имеет вид:

Р(А +А +…+А )=Р(А )+ Р (А )+…+ Р(А )–Р(А А )-Р(А А )-…- Р(А А )+Р(А А А )+Р(А А А )+…+Р(А А А )-… (-1) Р(А А …А ).

Для несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р(А +А +…+А ) = Р(А )+ Р (А )+ … + Р(А )

Формула умножения. Для произвольных событий А и В

Р(АВ) = Р(А) Р(B/A)=P(B)P(A/B.

Формула справедлива, если Р(А) > 0, P(B) > 0, и позволяет вычислять вероятность совместного осуществления событий А и В в тех случаях, когда условная вероятность считается известной (из дополнительных опытов) или определяется методом вспомогательного эксперимента.

Для произвольного конечного числа событий формула умножения имеет вид:

Р(А А …А )=Р(А ) Р(А / А )Р(А /А А )Р(А /А А А )…Р(А /А А …А ).

Для независимых в совокупности событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей, т.е.

Р(А А …А ) = Р(А А …А ).

Пример 4. В условиях эксперимента, рассмотренного в примере 3 найти вероятности того, что среди выбранных изделий содержатся:

а) не более одного бракованного;

б) хотя бы одно бракованное.

Пусть событие А - среди выбранных изделий не более одного бракованного,

Рассмотрим события: А - среди выбранных изделий - ни одного бракованного,

А - среди выбранных изделий - одно бракованное.

Тогда А = А + А , причем А , А - несовместны. По формуле сложения искомая вероятность Р(А) =Р(А + А ) =Р(А ) +Р(А ),

Р(А ) = = = , Р(А ) = = = ,

Р(А) =

Пусть событие В – среди выбранных изделий хотя бы одно бракованное.

Можно решить эту задачу с помощью формулы сложения, но решение будет значительно проще, если перейти к противоположному событию - среди выбранных изделий нет бракованных.

= А , Р() = Р (А ) = , Р(В) = 1 - Р() = 1 - =

Пример 5. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 5% всей продукции является браком, а 80% небракованных изделий удовлетворяют требованиям 1-го сорта.

Обозначим А – выбранное изделие является небракованным,

В – выбранное изделие удовлетворяет требованиям 1-го сорта,

тогда АВ – выбранное изделие является первосортным, а искомая вероятность

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = ,

здесь Р(А) = 1 – 0,05, Р(В/А) = 0,8.