Прямая и обратная задачи теории упругости

В теории упругости формулируются и решаются следующие типы задач:

Основная задача І типа.

Задано: тело, т.е. S_(x,y,z); массовые силы X,Y,Z; упругие характеристики E,G, m; Нагрузки Р на отдельных областях S₁, S₂, S₃ – т.е. статические граничные условия.

Определить: компоненты тензора напряжений σ_ij, компоненты тензора деформаций ε_ij, перемещение точек u,v,w.

Основная задача ІІ типа.

Задано: тело, т.е. S_(x,y,z); массовые силы X,Y,Z; упругие характеристики E,G, m; перемещение некоторых точек на поверхности - т.е. кинематические граничные условия.

Определить: σ_ij, ε_ij и u, v, w.

Основная задача ІІІ типа (смешанные)

Задано: тело, т.е. S_(x,y,z); массовые силы X,Y,Z; упругие характеристики E,G, m; на части поверхности тела заданы силы Р (статические граничные условия) а на части граничных точек – заданы перемещения (кинематические граничные условия)

Определить: σ_ij, ε_ij и u, v, w.

В свою очередь основная задача теории упругости может быть решена как в прямой, так и в обратной постановке.

Прямая задача.

Задано: тело S_(x,y,z); массовые силы X,Y,Z; упругие характеристики E,G, m; заданы граничные условия (или статистические, или кинематические, или смешанные).

Определить: σ_ij, ε_ij и u, v, w.

Обратная задача.

Задано: тело S_(x,y,z); упругие характеристики E,G, m; для некоторых внутренних точек известны σ_ij, ε_ij и u, v, w.

Определить: для остальных точек σ_ij, ε_ij и u, v, w; восстановить X,Y,Z и Р (внешнюю нагрузку).

Необходимо отметить, что обратная задача теории упругости решается значительно легче прямой.