Теория деформаций

При нагружении твердого деформируемого тела его частицы перемещаются друг относительно друга. Причем эти перемещения ограничены возникающими внутренними силами и они ничтожно малы по сравнению с размерами тела, такие перемещения приводят к изменению размеров и формы тела, т.е. тело деформируется. Поэтому, различаются деформации линейные, которые характеризуют степень изменения размеров тела, а также деформации угловые, характеризующие степень изменения формы.

Введем понятие линейной и угловой деформации. В нагруженном теле выделим две его частицы А и В, относящие изначально на расстоянии S (рис.6).

Рис.6

При нагружении тела, системой внешних уравновешенных сил, тело деформируется (пунктиром обозначено) и его частицы А и В перемещаются изминаются новые положение А₁ и В₁. При этом, в общем случае, расстояние между ними изменяются на и станет равным S+ . Под средней линейной деформацией в точке А в направлении АВ принимают

(4.1)

Устремив S 0, в пределе получим истинную линейную деформацию в точке А направлении АВ, т.е.

(4.2)

Если связать изначально точку А с другой точкой, то в общем случае линейная деформация в данной точке, но по различным направлениям будет разной. Как видно из выражений (4.1) и (4.2) линейная деформация – величина безразмерная. В дальнейшем мы будем, оперировать линейными деформациями в одной и той же точке по координатным направлениям, т.е. по осям x, y, z. Они обозначаются _, и

Далее, опять же в нагруженном теле выделяем три частицы А, В и С таким образом, чтобы угол ВАС изначально был прямой (рис. 7).

Рис.7

После нагружения тела системой внешних уравновешенных сил частицы А, В и С переместятся в новые положения А₁, В₁ и С₁ и вновь образованный угол В₁А₁С₁ в общем случае становится непрямым, т.е. больше или меньше 90⁰. Под средней угловой деформацией в точке А в плоскости ВАС (средний угол сдвига) понимают

(4.3)

Уменьшая длины отрезков АВ и АС, в пределе получим значение истиной угловой деформации (истинный угол сдвига) в точке А плоскости ВАС.

(4.4)

Отнеся частицу А к другой плоскости, т.е. связав её с другими двумя частицами, в общем случае угловая деформация в одной и той же точке, но по различным плоскостям изменяется, т.е. будет другой. Угловая деформация измеряется в радианах. В дальнейшем будем рассматривать угловые деформации, в одной и той же точке, но по различным, а точнее по координатным плоскостям xy, yz и zx, т.е. .

Совокупность линейных и угловых деформаций , в одной и той же точке по различным направлениям и плоскостям образуют тензор деформаций, характеризующей деформированное состояние тела в данной точке.

Иногда, для удобства обозначения всех компонентов тензора деформаций и , введем обозначение , а сам тензор деформаций записываем в виде

(4.5)

Аналогично понятию главных напряжений и введены понятие главных линейных деформаций и . По площадкам, перпендикулярным направлению и , отсутствуют угловые деформации. Аналогично тензору напряжений (3.5), можно представить тензор деформаций через главные линейные деформации

(4.6)

Существует аналогичная прямой и обратной задачи теории напряжений прямая и обратная задачи теории деформации.Их суть заключается в переходах от компонентов одного тензора деформаций, к компонентам другого.