ЛЕКЦИЯ. Тұрақты коэффициентті сызықты біртексіз теңдеулерді интегралдау

Лекция мақсаты: Тұрақты коэффициентті сызықты біртексіз теңдеулерді интегралдау жолдарымен танысу.

Негізгі сөздер: Фундаменталь шешімдер жүйесі, базис, Эйлер әдісі, квазикөпмүшелік.

Енді тұрақты коэффициентті біртексіз теңдеуді қарастырайық:

(16)

Мұнда -сандары нақты, ал - функциясы кейбір аралығында үздіксіз деп алынады.

Өткен параграфта көрсетілгендей, біртексіз сызықты теңдеудің жалпы және дербес шешімдерін жалпы жағдайда тұрақтыларды вариациялау арқылы анықтауға болады. Кейбір жағдайларда функциясының түріне байланысты шешімді алгебралық амалдардың көмегімен интегралсыз-ақ табуға болады.

Айталық, функциясы квазикөпмүшелік түрде берілсін, яғни

(17)

Мұнда -дәрежесі -ге тең көпмүшелік:

(18)

Сонымен,

(19)

Дербес шешімді құрудың екі жағдайы қарастырылады.

-саны сипаттаушы теңдеудің түбірі емес. Бұл жағдайда дербес шешім мына түрде ізделінеді:

(20)

Мұнда

(21)

Осы (20) өрнекті (19) теңдеуге қойып, алдын ала функциясына қысқартып, -тың әртүрлі дәрежелерінің коэффициенттерін теңестіретін болсақ, - коэффициенттері төмендегідей теңдеулерден бірмәнді түрде анықталады:

(22)

Мұнда , өйткені -саны сипаттаушы теңдеудің түбірі емес.

-саны сипаттаушы теңдеудің -еселікті түбірі болсын, яғни

(23)

Бұл жағдайда дербес шешім

(24)

түрінде ізделінеді. Мұнда да (24) өрнекті (19) теңдеуге қоятын болсақ, -сандарын табу үшін төмендегідей алгебралық теңдеулер аламыз:

(25)

Мұнда болғандықтан, барлық коэффициенттер бір мәнді түрде анықталады.

Ескерту. Егер (16) теңдеудің оң жағы тригонометриялық квазиполином түрінде берілсе, яғни

түрінде берілсе, онда және функцияларын Эйлер формуласы бойынша

түрінде жазып, алдыңғы жағдайға келтіруге болады.