Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттері

1.1. Қарапайым теңдеулер жүйелердің ең маңызды дербес түрі – сызықты жүйелер болып есептелінеді. Оның скалярлық түрдегі жазылуы төмендегідей болады:

(1)

Мұндағы, және функциялары кейбір аралығында анықталған нақты үздіксіз функциялар деп қарастырылады. Бұл жүйені былайша жазуға да болады:

(2)

Егер матрицасын енгізсек, ал пен -ты вектор немесе бір бағаналы матрицалар деп қарастырсақ, онда берілген жүйені төмендегідей векторлы-матрицалық түрде жазуға болады:

(3)

Бұл қатынасты жүйе деумен қатар (оның векторлық мағынасын ескеріп), бір теңдеу деп те айтуға болады.

Әдетте, – вектор-функцияны бос мүше деп атайды. Егер осы бос мүше нөлге тең болса, онда (3) жүйенің орнына оның біртектісін аламыз:

(4)

Бос мүше нөлге тең болмағанда (3) жүйені (4) жүйенің сәйкес біртексізі деп атайды.

Бұл жүйелер үшін Коши есебі мына түрде қойылады: барлық векторлардың ішінен

бастапқы шартын қанағаттандыратын шешімді табу керек. Мұндағы, - берілген бастапқы вектор.

1.2. Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттерін келтірейік:

Тәуелсіз айнымалыны үздіксіз дифференциалданатын функция арқылы басқа бір тәуелсіз айнымалымен алмастырғаннан жүйенің сызықтығы өзгермейді.

Шынында да, алмастыруын жасайық. Туындыны жаңа айнымалы арқылы өрнектейік:

Осыдан,

немесе

яғни,

(5)

түріндегі жаңа сызықты жүйеге қайта келдік.

Белгісіз функцияны сызықты түрлендіргеннен жүйенің сызықтығы өзгермейді.

Шынында да, айталық түрінде алмастыру

жасалсын. Мұнда ерекше емес матрица, яғни оның анықтауышы нөлге тең емес. Осы қатынастан туынды алып берілген жүйенің өзін пайдалансақ, мынандай қатынастар аламыз:

яғни,

Осыдан,

немесе

Мұндағы,