Предварительный расчёт валов

Проектный расчёт проводится только на кручение, причём для компенсации напряжения изгиба и других неучтённых факторов принимают значительно пониженные значения допускаемых напряжений кручения, например для выходных участке валов редукторов [τ_к] = (0,025...0,03)σ_в., где σ_в - временное сопротивление материала вала. Тогда диаметр вала определится из условия прочности

τ_к = M_к /(0,2d³) ≥ [τ_к], откуда

d ≥

Полученное значение диаметра округляется до ближайшего стан­дартного размера согласно ГОСТ «Нормальные линейные размеры», ус­танавливающего четыре ряда основных и ряд дополнительных размеров; последние допускается применять лишь в обоснованных случаях. Так, из ряда R_а40 указанного стандарта в диапазоне от 16 до 100 мм предусмот­рены следующие основные нормальные линейные размеры: 16,17,18,19,20,21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42,45,48, 50, 53, 56,60, 63, 67,71,75,80,85,90,95,100.

Так как промышленность изготовляет подшипники качения с диаметром отверстия 35, 55, 65, 70 мм в указанном диапазоне, то разрешает­ся использовать для цапф валов и осей эти дополнительные размеры.

При проектировании редукторов диаметр выходного конца ведущего вала можно принять равным диаметру вала электродвигателя, с которым вал редуктора будет соединен муфтой.

После установления диаметра выходного конца вала назначаете диаметр цапф вала (несколько больше диаметра выходного конца) и производится подбор подшипников. Диаметр посадочных поверхностей ва­лов под ступицы насаживаемых деталей для удобства сборки принимают больше диаметров соседних участков. В результате этого ступенчатый вал по форме оказывается близок к брусу равного сопротивления.

Расчетные схемы валов и осей (рис. 12.4, а— д). При составлении расчетной схемы валы и оси рассматривают как балки, шарнирно закреп­ленные в жестких опорах, одна из которых подвижная. Нагрузки, переда­ваемые валам и осям со стороны насаженных на них деталей, полагают сосредоточенными и приложенными в середине ступицы (рис. 12.4, д). Силы трения в подшипниках не учитывают, силами тяжести валов, осей и насаженных на них деталей обычно пренебрегают. Кроме того, в боль­шинстве случаев пренебрегают усилиями, растягивающими или сжи­мающими вал.

Оси координат на расчетной схеме следует направлять вдоль векто­ров основных внешних сил. Если угол между плоскостями действия внешних сил не превышает 30°, то эти силы на расчетной схеме можно совмещать в одну плоскость.

Радиальные реакции подшипников, а следовательно, и условные опоры полагают расположенными следующим образом (рис. 12.4). а – у подшипников скольжения на расстоянии 0,3...0,4 его длины от внутренне­го торца, так как вследствие деформаций валов и осей давление по длине подшипника распределено неравномерно; б — у радиальных подшипни­ков качения в середине их ширины; в, г — у радиально-упорных подшип­ников качения в точках О пересечения с осью вала нормали к площадке контакта в ее середине (размер о, определяющий расстояние точки О от клейменого торца подшипника, вычисляется по формулам в зависимости от размеров подшипника).

Рисунок 12.4 - Условные опоры (а) у подшипников скольжения на расстоянии 0,3...0,4 его длины от внутренне­го торца, (б) у радиальных подшипни­ков качения в середине их ширины; (в), (г) у радиально-упорных подшип­ников качения в точках пересечения с осью вала

На рис. 12.5 представлена расчетная схема ведущего вала ци­линдрического редуктора с косозубыми колесами, нагруженного вра­щающим моментом Т, окружной силой F_т радиальной силой F_r и осевой силой F_a.

Здесь же представлены эпюры изгибающих моментов в верти­кальной и горизонтальной плоскостях и эпюра крутящих моментов, сум­марный изгибающий момент в любом сечении вала определяется как геометрическая сумма изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях по формуле

Одновременное действие изгибающего и крутящего моментов учи­тывается значением эквивалентного момента, например, по гипотезе наи­больших касательных напряжений

Окончательный расчет валов. Проверочный расчет валов выпол­няется на усталость и жесткость (расчеты на колебания мы рассматривать не будем).

Упрощенный проверочный расчет валов на усталость исходит из предположения, что не только нормальные, но и касательные напряжения изменяются по симметричному (наиболее неблагоприятному) циклу.

Рисунок 12.5 -Расчетная схема ведущего вала ци­линдрического редуктора с косозубыми колесами

Этот вид расчета дает неточность на несколько процентов в сторону увеличе­ния запаса прочности. Условие сопротивления усталости имеет вид

где σ_экв — эквивалентное напряжение в проверяемом сечении; М_экв — эквивалентный момент; d — диаметр вала в этом сечении; — до­пускаемое напряжение на изгиб при симметричном цикле изменения на­пряжений (см. табл. 12.1). Расчетный диаметр вала в проверяемом сечении определяется по формуле

и сравнивается с принятым при конструировании вала диаметром. вала.

Если проверяемое сечение вала ослаблено шпоночной канавкой, то расчетный диаметр вала следует увеличить на 7... 10%.

Приведенные для проектного и проверочного расчета валов формулы и рекомендации используются и для расчета осей с учетом только нормальных напряжений изгиба, так как М_к = 0. Допускаемое напряжение для невращающихся и — для вращающихся осей выбирают по табл. 12.1.

Таблица 12.1

Допускаемое напряжение для невращающихся и — для вращающихся осей

Материал	Временное сопротивление , МПа	Допускаемое напряжение, МПа
Углеродистая сталь
Легированная сталь

Уточненный проверочный расчет валов на усталость исходит из предположения, что нормальные напряжения изменяются по симметрич­ному, а касательные — по асимметричному циклу. Этот расчет заключа­ется в определении фактического коэффициента запаса прочности в предположительно опасных сечениях с учетом характера изменения напряжений, влияния абсолютных размеров деталей, концентрации напря­жений, шероховатости и упрочнения поверхностей.

Условие сопротивлению усталости имеет вид

где — коэффициенты запаса прочности по нормальным и касатель­ным напряжениям (их вычисление рассматривалось в сопротивлении материалов); [s] — допускаемый коэффициент запаса прочности; для валов
передач [s] ≥ 1,3.

В большинстве случаев можно ограничиться упрощенным прове­рочным расчетом валов. По известному эквивалентному напряжению в предположительно опасном сечении легко определить случаи, когда ус­ловия сопротивления усталости заведомо выполняются. Уточненный проверочный расчет на усталость производить нет необходимости, если

где - предел выносливости гладкого образца при симметричном цикле нагружения; К - коэффициент снижения предела выносливости,

определяемый по формуле: K=(K_σ/K_d+1/K_F-1)/K_υ

где К_а — эффективный коэффициент концентрации напряжений; K_d — коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения; K_F — коэффициент влияния шероховатости поверхности; K_υ — коэффициент влияния поверхностного упрочнения.

Значения указанных коэффициен­тов приводятся в справочной литературе и учебниках для вузов.

Рисунок 12.6 - Основные концентраторы напряжений в валах и осях: (а) галтель, (б) выточка, (в) поперечное отверстие, (г) шпо­ночная канавка.

На рис. 12.6 показаны основные концентраторы напряжений в валах и осях: а — галтель, б — выточка, в — поперечное отверстие, г — шпо­ночная канавка.

Проверочный расчет на усталость ведется по номинальной длитель­но действующей нагрузке без учета кратковременных перегрузок (например в период пуска или динамических и ударных воздействиях), повторяемость которых невелика и не может вызвать усталостное разрушение.

Расчет на статическую прочность. В случаях возможности воз­никновения кратковременных пиковых нагрузок для предупреждения остаточных деформаций проводится проверочный расчет на статическую прочность по условию

,

где К_п – коэффициент перегрузки, равный отношению максимального момента двигателя к его номинальному значению (при наличии предо­хранительного устройства К_п зависит от момента, при котором срабаты­вает это устройство); — предел текучести материала; [s_T] — допускае­мый коэффициент запаса прочности по пределу текучести. Обычно при­нимают [sT] = 1,2... 1,8.

Расчет валов и осей на жесткость. Под действием приложенных активных и реактивных сил валы изгибаются и скручиваются. Деформации валов при изгибе характеризуются прогибом у и углами поворота а поперечных сечений (рис 12.7)

Рисунок 12.7-Деформации валов - рогиб и угол поворота а поперечных сечений

Максимальный прогиб вала или оси называется стрелой прогиба и обозначается f. Деформация кручения вала характеризуется углом закручивания φ.

В результате прогиба и поворота сечений вала изменяется взаимное положение зубчатых венцов передач (рис 12.7) и элементов подшипни­ков, что вызывает неравномерность распределения нагрузок по ширине венцов зубчатых колес и длине подшипников скольжения, перекос колец подшипников качения. Деформация кручения валов вызывает неравно­мерность распределения нагрузки по длине шлицев в шлицевых соедине­ниях по длине венцов валов — шестерен, может быть причиной потери точности ходовых винтов токарно-винторезных станков и причиной воз­никновения крутильных колебаний валов.

Деформация валов мало влияет на работу ременных и цепных пере­дач, поэтому валы таких передач на жесткость не проверяют. Короткие валы, например валы редукторов, на жесткость обычно не проверяют, так как прогибы и углы закручивания таких валов невелики и жесткость их обеспечена.

Условия жесткости валов записывают следующим образом

Здесь у — допускаемый прогиб (в месте установки зубчатых колес [y]≤ 0,01m, где m — модуль зацепления); [ f ] — допускаемая стрела прогиба (для валов общего назначения в станкостроении [ f ] ≤ 0,0003/, где f — длина пролета); [а] — допускаемый угол поворота сечения вала (для подшипников скольжения [а] = 0,001 рад, для подшипников качения [а] ≤ 0,05 рад и в значительной мере зависит от типа подшипника; для валов зубчатых передач для сечений в опорах [а] = 0,001 рад; [ ]-допускаемый угол закручивания вала ([ ] = 0,25... 1 град/м и зависит от требований и условий работы конструкции).

Условие жесткости осей записывается так:

f ≤[ f ], здесь [ f ] = 0,002 l, где l — расстояние между опорами.

Пример 12.1. Рассчитать ведущий вал цилиндрического редуктора с косозубыми колесами, расчетная схема которого представлена на рис. 12.5, а. Дано: диаметр делительной окружности шестерни d₁ = 100 мм, b = 50 мм, с = 90 мм, радиальная сила F_r=960 Н, осевая сила F_a = 370 Н, вращающий момент на валу T=131 Нм.

Решение. Из проектного расчета на кручение определим диаметр d_в выходного участка вала, приняв материал сталь 45 с временным сопротивлением σ_в=730 МПа. Тогда допускаемое напряжение на кручение:

[τ_к]=(0,025…0,03)σ_в≈20МПа,

а расчетный диаметр вала (учитывая, что М_к = Т) будет равен

Принимаем диаметр цапф d =35 мм в соответствии со стандартом на подшипники качения.

Диаметр свободных участков вала примем равным 40 мм, а посадочный
диаметр вала под шестерню равным 45 мм.

Далее, выбрав оси координат, построим эпюры изгибающих моментов в вер­тикальной и горизонтальной плоскостях, эпюру крутящих моментов и определим эквивалентный момент в месте посадки шестерни (опасное сечение), предвари­тельно вычислив окружную силу:

F_t = 2T/d₁ = 2 ∙ 131/0,1 = 2620 Н;

М_их = F_tcb/ l + F_ad₁c/(21) = 960 • 0,09 • 0,05/0,14 + 370 • 0,1 • 0,09/(2 • 0,14) = 42,7 Нм
М_иу = Ftcb/ l = 2620• 0,09• 0,05/0,14 = 84,4 Нм;

|Приняв по табл. 12.1 допускаемое напряжение =65 МПа, определим диаметр посадочного места из упрощенного проверочного расчета на усталость:

Так как в месте посадки шестерни на валу будет шпоночный паз, то увеличив расчетный диаметр на 10%, в результате получим d_p ≈ 32 мм. Сравнив

расчетный диаметр с принятым из конструктивных соображений, видим, что сопротивление усталости вала обеспечено со значительным запасом.

Еще более прочной будет конструкция, если шестерню изготовить за одно целое с валом. Конструкцию вала—шестерни, соответствующую этому примеру, см. на рис. 13.21.