Современная стоимость ренты

Во многих задачах финансового анализа представляет интерес нахождение современной (приведенной или текущей) стоимости ренты . Как и для любого потока платежей, эта величина равна приведенной к начальному моменту времени стоимости всего потока. Поскольку приведенная к концу срока стоимость всего потока платежей уже была нами ранее найдена, остается найти современное (дисконтированное к начальному моменту времени) значение этой величины. Производя дисконтирование, получим для ренты постнумерандо

,

и соответственно для ренты пренумерандо

.

Предельные значения этих величин при совпадают с ранее найденными предельными значениями величин и и дают сумму всех платежей:

.

Как и формула итога ренты, формула для современной стоимости ренты позволяет при необходимости выразить основные показатели этой финансовой операции (например, в случае ренты постнумерандо) через другие:

Величина члена ренты (платежа) ,

срок ренты .

Из формулы для современной стоимости ренты также можно приближенно (при малых значениях произведения ) выразить величину соответствующей процентной ставки:

.

При необходимости полученное таким образом приближенное значение можно уточнить с помощью численных методов.

Формулы для современной стоимости ренты дают возможность проанализировать важный частный случай так называемой вечной ренты (срок которой не ограничен). Оказывается, существуют конечные пределы современной стоимости рент при для любого положительного значения процентной ставки. Например, для ренты постнумерандо имеем:

,

соответственно для ренты пренумерандо:

.

Таким образом, современная стоимость вечной ренты оказывается конечной, хотя ее итог, как показывают формулы для наращенной стоимости, будет в этом случае бесконечно большим:

.

В этом прадоксальном на первый взгляд выводе находит отражение хорошо известный финансистам практический принцип: «далекие деньги мало что стоят сегодня». Действительно, простая оценка показывает, например, что современная стоимость 1 млн. руб. через 150 лет (при сложной процентной ставке 10% годовых) составляет всего около 1 руб. – именно столько стоит этот миллион рублей сейчас.

Фактически же механизм получения вечного дохода с конечной суммы вклада достаточно прост: приращение вклада за период между платежами (т.е. начисленные проценты) в этом случае в точности компенсирует величину платежа и поэтому такие платежи могут продолжаться неограниченно долго.

Подчеркнем, что такая финансовая операция соответствует принципу финансовой эквивалентности т.е. удовлетворяет интересам как вкладчика, так и банка.