Уравнение эквивалентности

Перейдем теперь к рассмотрению наиболее общего случая – установлению эквивалентности двух потоков платежей, т.е. задаче о том, как заменить один поток платежей другим потоком, эквивалентным ему. В практике финансовых расчетов такая задача возникает, например, при реструктуризации долга, когда необходимо тем или иным образом изменить график выплаты задолженности так, чтобы в соответствии с принципом финансовой эквивалентности взаимные обязательства сторон не были нарушены.

Имеет место следующее утверждение. Два потока платежей являются эквивалентными (по фиксированной ставке сложных процентов), если эквивалентные значения каждого потока (по этой ставке) для произвольного момента времени совпадают.

Уравнение, устанавливающее равенство соответствующих эквивалентных значений потоков, называется уравнением эквивалентности.

Проанализируем структуру и особенности такого уравнения, взяв в качестве примера достаточно общий и в то же время простой случай двух потоков, состоящих каждый из двух платежей , и , соответственно (рис. 9.).

Если эквивалентные значения каждого потока (по ставке i) находятся для некоторого произвольного момента времени n, то уравнение эквивалентности принимает вид

.

Основное свойство этого уравнения заключается в том, что момент времени n, к которому осуществляется приведение каждого потока, является произвольным. Это становится очевидным из структуры приведенного уравнения. Действительно, в левой и правой частях имеется отличный от нуля общий множитель , на который можно разделить уравнение, получив равносильное ему уравнение, не содержащее n. По существу это означает, что эквивалентные значения потоков можно находить, в частности, для момента времени n = 0. На практике бывает удобнее в качестве момента приведения выбрать дату, которой соответствует один или несколько платежей, при этом уравнение несколько упрощается.

Уравнения эквивалентности очень широко применяется в финансовом анализе. Можно сказать, что большинство соотношений и формул финансовой математики являются на самом деле частными случаями уравнения эквивалентности в той или иной его форме.

Неизвестными величинами в уравнении эквивалентности в различных его вариантах могут являться: величина одного из платежей; срок одного из платежей; ставка приведения.

Наиболее сложную задачу представляет решение уравнения эквивалентности относительно неизвестного значения ставки приведения, т.к. в общем случае такое уравнение сводится к алгебраическому уравнению высокой степени, которое может быть решено только приближенно, численными методами (хотя в частных случаях расчеты могут быть несложными).

Примеры составления и решения уравнений эквивалентности в конкретных задачах будут рассмотрены далее.

Тема 5.

ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ