Непрерывные потоки платежей

Коротко рассмотрим особенности непрерывных потоков платежей. При этом предполагается, что в течение срока финансовой операции платежи поступают непрерывно с некоторой интенсивностью , которая в общем случае зависит от времени t (здесь t – текущий момент времени в пределах срока финансовой операции, т.е. , а интенсивность поступления платежей измеряется в единицах д.е./год). Такая модель потока платежей характерна, например, для торговой фирмы, у которой выручка от продажи товаров поступает ежедневно в течение достаточно продолжительного времени. В общем случае реальный поток платежей может быть дискретно-непрерывным, когда наряду с отдельными крупными платежами на некоторых интервалах времени поступает последовательность мелких платежей, которые можно считать непрерывными.

Найдем современную стоимость непрерывного потока платежей.

Суммарный платеж, поступивший в течение малого интервала времени в пределах срока финансовой операции, равен , а его современная (приведенная к начальному моменту времени) стоимость составит , где – текущий коэффициент дисконтирования.

Производя суммирование и переходя к пределу при (соответствующие функциональные зависимости считаем непрерывными функциями времени), получим современную стоимость непрерывного потока платежей в виде определенного интеграла

.

Рассмотрим далее простейший случай – непрерывный поток платежей с постоянной (т.е. не зависящей от времени) интенсивностью и найдем его современную стоимость для двух случаев: при использовании приведения по сложной процентной ставке и по непрерывной ставке.

В случае приведения по сложной процентной ставке интеграл будет иметь вид

.

Рассматривая предел этого выражения при (например, с помощью правила Лопиталя) получим

.

Этот результат является естественным, т.к. при нулевой процентной ставке современная стоимость потока платежей равна его суммарной стоимости без учета фактора времени.

В случае приведения по непрерывной ставке соответствующий коэффициент дисконтирования равен и интеграл будет иметь вид

(с тем же предельным значением ).

Как можно показать, различие в результатах расчетов при этом невелико, но более удобной для практического применения является формула с приведением по непрерывной ставке.

Аналогично может быть найдено эквивалентное значение непрерывного потока платежей.