Расчет наращенной стоимости ренты

Рассмотрим основной случай ренты, который наиболее часто встречается на практике – простую постоянную годовую безусловную ренту постнумерандо. В дальнейшем такой вид ренты будем называть просто рентой, не уточняя ее типа.

Обозначим n - срок ренты (в годах), R - величина каждого платежа, i - сложная процентная ставка наращения.

Одной из основных задач в теории рент (как и для общего случая произвольных потоков платежей) является задача нахождения итога ренты, т.е. ее наращенной к концу срока стоимости всей ренты. Эту величину обозначим, как и ранее итог любой финансовой операции, . Ее можно найти, рассматривая ренту, как регулярный поток платежей одинаковой величины R, следующих с интервалом в один год (рис. 10.).

Эквивалентное значение этого потока (по сложной ставке наращения i) на конец срока ренты состоит из суммы приведенных к этому моменту времени (в данном случае наращенных) платежей , где . В этой сумме все наращенные платежи различны, т.к. каждому из них соответствует свое время наращения. Располагая их для наглядности в порядке возрастания, можем представить итог ренты в виде суммы

.

Это выражение представляет собой сумму n членов возрастающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем , который больше единицы. Воспользовавшись известной формулой для расчета суммы членов такой прогрессии, получим

.

Эта формула является одной из основных для ренты постнумерандо.

В случае ренты пренумерандо отличие заключается в том, что весь поток платежей сдвигается по времени (в сторону более раннего времени) на один период, поэтому наращенная сумма будет несколько больше, чем для ренты постнумерандо (чтобы отличать ее от наращенной суммы ренты постнумерандо, будем использовать обозначение ):

.

Формула для итога в этом случае будет иметь вид

.

Проанализируем полученные формулы. Как можно убедиться, существуют равные друг другу пределы величин и при :

.

Эта величина имеет наглядный смысл: она равна алгебраической сумме всех платежей - именно таким будет итог ренты (как постнумерандо, так и пренумерандо) при нулевой процентной ставке, когда проценты не начисляются, а происходит простое суммирование платежей. Очевидно, что при любом ненулевом (положительном) значении процентной ставки величина итога будет больше, чем сумма всех платежей .

Формула для наращенной стоимости ренты позволяет легко выразить основные показатели этой финансовой операции (например, в случае ренты постнумерандо) через другие:

Величина члена ренты (платежа) ,

срок ренты .

Во многих случаях представляет большой интерес расчет величины процентной ставки по заданным значениям , и (это необходимо, например, для оценки доходности соответствующей финансовой операции). Однако такая задача является более сложной: величина процентной ставки в общем случае может быть найдена лишь приближенно, т.к. для этого необходимо решить алгебраическое уравнение высокой степени (например, с помощью численных методов).

Простая приближенная формула для расчета величины процентной ставки может быть получена на основе разложения выражения в степенной ряд. С точностью до членов порядка это разложение, как известно, имеет вид

(данная формула является тем более точной, чем меньше величина произведения ).

Подставляя это разложение в формулу для итога ренты постнумерандо, имеем

,

откуда уже можно приближенно выразить (при ) величину соответствующей процентной ставки:

.