Эквивалентность ставок наращения и дисконта

Понятие эквивалентности процентных ставок играет важную роль в финансовой математике. Эквивалентными называют процентные ставки, обеспечивающие одинаковые итоговые результаты каких-либо финансовых операций.

Рассмотрим эквивалентность ставок наращения и дисконтирования. Как было показано выше, и наращение и дисконтирование представляют собой способы начисления процентных денег, т.е. нахождения эквивалентных друг другу в финансовом отношении (с учетом фактора времени) итога и его современной стоимости . При этом для наращения прямой задачей является определение итога по заданной современной стоимости , а обратной - определение современной стоимости по заданному итогу , для дисконтирования же - наоборот.

Ставки наращения и дисконта, обеспечивающие одинаковые соотношения итога и его современной стоимости, называются эквивалентными. Условие эквивалентности для них можно представить в виде

,

где A и v – соответствующие коэффициенты наращения и дисконтирования.

В частном случае простых ставок наращения и дисконта это дает

.

Из приведенного соотношения можно выразить простую ставку наращения через эквивалентную ей простую учетную ставку и наоборот:

и .

Видно, что ставка наращения всегда больше эквивалентной ей учетной ставки, причем соотношения между ними зависят от срока операции . При этом значения ставок оказываются близкими, если произведения и малы: и (это имеет место при краткосрочных операциях и небольших ставках наращения и дисконта). Особенно большими различия между эквивалентными ставками наращения и дисконта становятся при значениях , близких к единице (при приближении к критическому значению срока операции ).

Рассмотрим далее эквивалентность сложной ставки наращения и сложной учетной ставки.

При ежегодных начислениях имеем условие эквивалентности

.

Извлекая корень степени из обеих частей этого равенства, получаем соотношения между эквивалентными ставками, которые оказываются для этого случая наиболее простыми:

и .

Наконец, рассмотрим общий случай – эквивалентность ставок наращения и дисконта при начислении раз в год. В этом случае соотношение эквивалентности приобретает вид

.

Извлекая корень степени из обеих частей этого равенства, выражаем ставку наращения через эквивалентную ей ставку дисконта и наоборот:

и .

В данном случае соотношения между эквивалентными ставками наращения и дисконта не зависят от срока операции, а только от числа начислений процентов в год .

Рассмотрим подробнее характер этой зависимости при различных значениях m. При увеличении m знаменатель каждой дроби приближается к единице, поэтому значения ставок сближаются. Важным является существование общего предельного значения этих ставок при , обозначаемого символом . Действительно, пределы левой и правой частей соотношения эквивалентности равны соответственно

и ,

поэтому в предельном случае .

Смысл этого равенства эквивалентных ставок заключается в том, что при длительность каждого этапа начисления стремится к нулю, а потому исчезает различие между двумя принципами начисления процентных денег «проценты - вперед» и «проценты - потом», поэтому исчезает и различие между ставками наращения и дисконтирования.

Отметим, что соотношение эквивалентности можно установить также между любыми ставками наращения и дисконта, связывающими между собой величины и . Например, эквивалентность простой ставки наращения и учетной ставки при дисконтировании раз в год определяется соотношением

,

эквивалентность ставки наращения при непрерывном начислении процентов и простой учетной ставки – соотношением

,

и т.д.

При этом для любых эквивалентных ставок наращения и дисконта будет выполняться общее основное соотношение .

Тема 4.

ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ