Банковский учет. Простая и сложная учетные ставки

Для описания процесса дисконтирования может быть введена и другая ставка, называемая учетной. При этом операция дисконтирования с помощью учетной ставки (ставки дисконтирования или дисконта) называется банковским учетом. В случае простой учетной ставки коэффициент дисконтирования, который меньше единицы, выражается через простую учетную ставку d (в процентах годовых) следующим образом:

.

Соответствующая формула дисконтирования имеет вид

.

При этом величина дисконта, т.е. разности между итогом и его современной стоимостью, равна , причем, как и ранее для математического дисконтирования, имеет место соотношение:

.

В случае сложной учетной ставки (при дисконтировании один раз в год) формула дисконтирования имеет вид

,

где коэффициент дисконтирования выражен через сложную учетную ставку d:

.

При этом величина дисконта равна

.

Типичный пример применения банковского учета – операции с долговыми обязательствами (векселями). Держатель долгового обязательства (векселя), в котором указана подлежащая выплате сумма (номинал векселя) и дата выплаты, т.е. погашения векселя, может реализовать его досрочно: банк покупает (учитывает) вексель, но за более низкую, чем номинал, цену, т.е. со скидкой (дисконтом). При этом величина дисконта тем больше, чем больше времени остается до даты погашения векселя.

Подчеркнем еще раз, что операция дисконтирования в финансовом смысле полностью эквивалентна операции наращения (при соответствующих процентных ставках). Например, покупка долгового обязательства (векселя) может служить средством наращения: если инвестор желает разместить в банке первоначальную сумму на некоторый срок n, то он может купить на эту сумму вексель банка со сроком погашения n лет и номиналом (суммой, подлежащей выплате) , при этом коэффициент дисконтирования v имеет соответствующий вид в зависимости от применяемой при расчетах ставки. Тогда в конце срока при погашении векселя инвестор получит сумму , т.е. осуществит наращение своих денежных средств.

Проведем сравнение процессов дисконтирования по простой и сложной учетным ставкам, сопоставляя вид графиков соответствующих коэффициентов дисконтирования, как функций времени: и (рис. 2).

Как и ранее для ставок наращения, простой учетной ставке соответствует прямая линия, а сложной – некоторая кривая линия.

При , независимо от величины учетной ставки, коэффициенты дисконтирования совпадают, а при значения коэффициента дисконтирования для простой учетной ставки оказываются больше, чем для сложной (хотя это отличие и незначительно).

Сравнение графиков функций и обнаруживает их принципиальное различие. Коэффициент по свойствам показательной функции с основанием, меньшим единицы, всегда остается положительным, асимптотически приближаясь к нулю (дисконтирование происходит с замедлением, т.к. каждый раз учетная ставка применяется к сумме, уже дисконтированной на предыдущем этапе). В то же время коэффициент уменьшается линейно и при некотором критическом сроке операции, равном , обращается в нуль (прямая пересекает ось времени). Например, при дисконтировании по простой учетной ставке = 33% годовых критический срок операции составляет года.

Таким образом, современная стоимость итога при сроке оказывается равной нулю, что делает такую финансовую операцию бессмысленной. В связи с этим дисконтирование по простой учетной ставке применяется, как правило, лишь при краткосрочных финансовых операциях (до тех пор, пока выполняется условие или более жесткое условие ). При долгосрочных же операциях обычно применяется дисконтирование по сложной учетной ставке или математическое дисконтирование (и в том и в другом случае коэффициенты дисконтирования и остаются положительными при любом значении процентной ставки и любом сроке операции).

Рассмотрим далее, аналогично наращению, дисконтирование раз в год по сложной учетной ставке. В этом случае формула дисконтирования имеет вид

,

где коэффициент дисконтирования .

В теоретическом анализе финансовых операций рассматривается и непрерывное дисконтирование по сложной учетной ставке (при ). Соответствующий коэффициент дисконтирования может быть найден аналогично коэффициенту наращения при непрерывном начислении сложных процентов (см. п. 2.4):

.

Как и в случае наращения по сложной процентной ставке раз в год, можно ввести эффективную годовую ставку дисконта , которая обеспечивает тот же коэффициент при дисконтировании один раз в год, что и сложная учетная ставка при дисконтировании раз в год. Она определяется из соотношения:

.

Из этой формулы находим

.

С помощью разложения в степенной ряд можно показать, что всегда меньше, чем (при ).

Как и эффективная годовая процентная ставка, эффективная годовая учетная ставка служит для сопоставления доходности операций дисконтирования с различными значениями m.